2021 Fiscal Year Annual Research Report
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21J20035
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
市田 優 明治大学, 明治大学大学院理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | 力学系理論 / 偏微分方程式 / 解の有限時間特異性 / 定常解 / 進行波解 / MEMS型偏微分方程式 / 退化放物型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，力学系理論の立場から有限時間特異性（解の爆発や急冷）が期待される現象をモデル化した微分方程式に対する包括的な数学解析の手法の構築と解の現象再現性の是非を問うことを最終的な目標としている．今年度はその第一段階として，主に力学系理論や幾何学的アプローチを融合した手法（相空間のコンパクト化）に基づいて有限時間特異性を起こすことが知られている複数の偏微分方程式の特殊解の挙動や性質を力学系理論の観点から統一的にどこまで調べることができるかという問題に取り組んだ．今年度得られた研究成果を以下に3点述べる．
1つ目に，微小電気機械システム（MEMS）の研究を由来にもつMEMS型偏微分方程式に対して，進行波解という観点から負冪の非線形性を有する放物型方程式とそれに摂動を加えた双曲型方程式の両方について考察した．進行速度と摂動項の係数の関係による振る舞いの変化を与えた．この結果は，放物型と双曲型，それぞれでモデル化されているMEMS型方程式の現象再現性の是非を問うための新たな視点を提供している．
2つ目に，MEMS型反応拡散方程式と呼ばれる負冪の非線形性に加えて勾配項も有する偏微分方程式に対して，急冷と呼ばれる解の有限時間特異性の解析に向けて，その第一歩となる定常解について空間1次元と空間多次元の両方から上記で述べた手法で迫った．この結果は1つ目とは別の角度からMEMS型方程式の解の様子を明らかにするものであり，本研究の最終目標達成への数学解析基盤の構築に向けて，さらなる理解や発展へつながる新たな一歩を踏み出すことができたと言える．
3つ目に，爆発解析が盛んな空間1次元退化放物型方程式に対して，非負進行波解のすべてを分類し符号変化しないことや解の存在に加えて，それぞれの解の形状や漸近挙動を導出した．これは我々の先行研究の結果を一般化しており，今後の爆発解析への貢献が期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
偏微分方程式の解の有限時間特異性における本研究の最終的な目標には達していないが，その派生的研究として，当初の計画にはなかった相空間のコンパクト化を用いた微分方程式の無限遠ダイナミクスを応用することで偏微分方程式の特殊な解の分類を含めた解構造の解明ができることが明らかになった．それにより手法の非自明な拡張の必要性や新たな応用例の開拓など新たな展開が多数生まれたため，概ね順調に研究が進んでいると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
力学系理論の立場から有限時間特異性（解の爆発や急冷）が期待される現象をモデル化した偏微分方程式に対する包括的な数学解析手法の構築と解の現象再現性の是非を問うという最終的な目標に向けて，結果が得られていない問題の解決に努めるとともに，以下に述べる研究を行う．
・MEMS型反応拡散方程式を例にして，その自己相似解の構造について相空間のコンパクト化の手法の非自明な拡張を行い，自己相似解とその漸近挙動を明らかにする．
・関連する放物型方程式，楕円型方程式に対しても本研究の主となる手法である相空間のコンパクト化を応用することにより，特殊解の解構造について明らかにする．
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