2023 Fiscal Year Research-status Report
半無限旗多様体を用いた量子Schubert calculusの研究
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22KJ2908
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
河野 隆史 早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| Keywords | 量子K環 / 旗多様体 / アフィンGrassmann多様体 / Lagrangian Grassmannian / Peterson同型 / Chevalley公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，まずC型旗多様体のトーラス同変量子K環の表示を完成させた．昨年度の研究において，C型旗多様体のトーラス同変量子K環を，あるLaurent多項式環の剰余環として明示的に記述する予想を立てた．本年度は，その予想に証明を与えた．今後，この表示を通してSchubert類をLaurent多項式として記述することで，旗多様体の量子K環の積構造の解明につながると考えられる．本研究は，内藤との共同研究である．
次に，Lagrangian Grassmannianのトーラス同変量子K環に対するK-Peterson写像の核の生成元を明示的に与えた．K-Peterson写像とは，アフィンGrassmann多様体のトーラス同変Kホモロジー環から一般旗多様体のトーラス同変量子K環への全射環準同型であり，Schubert類を保つものである．昨年度の研究において，K-Peterson写像の核に含まれる非自明な元を発見し，それらが核の生成元であることを予想した．本年度は，その元たちが実際に核の生成元であることを証明し，予想の証明を完成させた．本研究の結果やその証明により，一般旗多様体の量子K環の積構造を調べる方法として，アフィンGrassmann多様体という別の対象を利用する方法の存在が示唆された．本研究は，池田・中山・山口との共同研究である．
さらに，旗多様体およびA型2ステップ旗多様体・isotropic Grassmannian(C型)のChevalley公式における構造定数の正値性を明らかにした．量子K環においては，Schubert類の積に関する構造定数について正値性が成立することが予想されている．本年度は，過去に得たChevalley公式の組合せ論的記述を用いて，先述の多様体のChevalley公式における構造定数の正値性を証明した．本研究は，Lenart・内藤・佐垣との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画にあるChevalley公式の記述は，計画の方法では困難であることが判明している．しかし本年度は，当初の研究目的である量子K環の積の組合せ論的記述に貢献しうる新たなアプローチを得ることができた．よって，目的の達成へ向けて順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，これまでの半無限旗多様体を用いたアプローチに加えて，本年度までの研究で新たに得られた，アフィンGrassmann多様体を用いたアプローチを試みる．
当初の研究計画では，一般旗多様体のトーラス同変量子K環におけるChevalley公式の記述を，旗多様体の場合のChevalley公式における余分な項を消去することによって得ることを計画していた．この消去は旗多様体の量子K環から一般旗多様体の量子K環への全射環準同型の核に由来している．一方この核は，K-Peterson写像の核と対応するものであるから，アフィンGrassmann多様体の観点から量子K環のChevalley公式の記述を得ることも可能であると考えられる．そこで，今後の研究では，アフィンGrassmann多様体を取り入れて，多角的にChevalley公式などSchubert構造定数の記述を目指す．
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| Causes of Carryover |
本年度は，例年交通費と宿泊費を要する研究集会が関東で集中して開催された．当該研究集会で支出するはずだった交通費および宿泊費が支出されなかったため，残額が発生した．この残額については，次年度の研究集会や研究打合せの際に使用する．
また，その他特別研究員奨励費(雇用PD分)学術条件整備の次年度使用分が存在する．
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