2013 Fiscal Year Annual Research Report
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23224003
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
堤 誉志雄 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10180027)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡本 久 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40143359)
中西 賢次 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40322200)
澤野 嘉宏 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (40532635)
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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| Project Period (FY) |
2011-05-31 – 2016-03-31
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| Keywords | 非線形発展方程式 / 解の正則性・特異性 / 表面量直重力波方程式(米国) / 等温Falkモデル / Zakharov方程式 / Keller-Segel方程式(ドイツ) |
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| Research Abstract |
研究は，非線形分散型・波動方程式，流体力学の方程式，非線形放物型方程式に対し実施された．研究分担者の中西はMasmoudiとの共同研究により，表面張力重力波のモデル方程式から，非線形シュレディンガー方程式を導出するプロセスの数学的正当性を研究した．従来より，その極限プロセスにおいて，時間共鳴，空間共鳴，2次高調波共鳴という3種類の共鳴現象が起こることが知られていた．彼らは，それらの共鳴が引き起こす効果を解析し，極限パラメータによらない解のア・プリオリ評価を得た．これは，極限プロセスを数学的に解析するための重要なステップであり，彼らは引き続いて極限移行正当化の研究を進めている．研究代表者の堤は吉川との共同研究により，形状記憶合金の等温Falkモデルに対して，2種類の不変測度を構成して比較した．一つはGibbs測度であり，もう一つは加法ノイズと散逸項を付け加えて，ある一定の関係を保ちながらノイズと散逸項を小さくした極限で得られる，Kuksin流の不変測度である．これらの不変測度はそれぞれ長所と短所を持ち，今後の研究で重要な役割を果たすものと期待される．研究分担者の岸本と研究連携者の前田は，空間2次元の周期境界条件付きZakharov方程式に対し，爆発解の存在を証明した．2次元ユークリッド空間においては，Glangetas and Merleが1994年に爆発解の存在を示したが，周期境界条件の場合はそれ以来の未解決問題であった．研究分担者の岡本は，移流項と非局所性という非圧縮性Navier-Stokes方程式と類似の特徴を持ったモデル方程式に対して，特異性生成過程において移流項と非局所性がどのような役割を果たすのか調べた．研究連携者の溝口はWinklerとともに，放物型－放物型Keller-Segel方程式に対し，解が爆発するための一般的な十分条件を与えることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目標は，広い意味での特異性である“凝縮現象”を数学的に解析することと，凝縮現象が解析可能な数値計算手法の開発を目指して，数値シミュレーションを用いた凝縮現象の解析を行うことである．前者は数学の理論の確立を目指すものであり，後者は数値シミュレーションをするための理論的準備と実際の数値計算からなる．凝縮現象解析の数学理論に関してはすでに，非線形波動・分散型方程式に対しては，基底状態の近傍から出発する解の大域挙動の完全分類と決定，Gibbs測度やKuksin流の不変測度の構成，爆発解の存在などを証明した．また，非線形放物型方程式であるKeller-Segel方程式に対しては，解が爆発するための一般的な十分条件を証明するなど，大きな成果を得ている．流体力学方程式に対しても，数学的な解析に関しては，移流項と非局所性を持つ非圧縮性Navier-Stokes方程式を縮約したモデル方程式に対し特異性生成メカニズムを解明し，2次元の張力重力波に対しては，ストークスドリフトが起こることの簡潔な別証明を与えるとともに数値計算も行った．数値計算をするための理論的準備もほぼ整ってきたので，これからは実際の数値計算にも力を入れる予定である．数学理論の成果に比較すると，数値計算の成果はまだ多くない．しかし，数値計算の専門家である佐々木洋平と宮路智行を，平成25年度から新たに研究組織に加えたので，数値シミュレーション担当グループも岡本と併せて3人となった．したがって，数値計算に関しても，当初の目標通りの成果が得られる体制は整ったと言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
一般に非線形偏微分方程式の場合，解の性質は方程式固有の性質に大きく依存し，統一的に扱うことは困難なことが多い．したがって平成23年度－25年度においては，個別の方程式ごとに凝縮現象に着目して研究が進められてきた．原則的に，この方針を平成26年度以降も踏襲するのが適切であろう．しかし，研究期間の後半に入るため，個別の研究成果を整理することにより，凝縮現象の背後にある統一的な原理・法則の解明も目指す．
凝縮現象の数値計算に関しては，問題となる非線形偏微分方程式を直接コンピュータに計算させるのは，効率も精度もよくないことが多い．そこで通常，数学的または数理物理的考察により，非線形偏微分方程式を別の方程式に書き直す，あるいは別の問題設定に置き直し，数値計算しやすい形にする．数値計算を実行するためには，さらにコードを組み計算機を走らせなければならないため，ある程度の人員が必要となる．初期の計画では，研究分担者の岡本久だけが担当し，研究組織の中には彼以外の数値計算担当者はいなかった．しかし，岡本は理論的な部分について大きな貢献をしたが，彼の今までの数値計算の実績を元にしても，彼一人が実際にコンピュータを走らせるのは，時間的にも労力的にも難しいという問題が起こった．そこで，地球流体力学の数値シミュレーション経験が豊富な佐々木洋平と，数学的に非線形偏微分方程式の数値計算を研究してきた宮路智行を，平成25年度より連携研究者として研究組織に加えることにした．宮路と研究代表者の堤は，空洞共振器の数理モデルであるLugiato-Lefever方程式（外力と減衰項付きの非線形シュレディンガー方程式）に関して共同研究を行った実績がある．現在までの研究成果においては，理論的な結果に比較して，まだそれほど多くの数値計算結果は出ていないが，この二人の加入により数値計算結果も増える見通しである．
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