2012 Fiscal Year Annual Research Report
数論における幾何・トポロジーの新展開とアルゴリズム
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23244002
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
松本 眞 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70231602)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 数論的基本群 / モジュライ / 数論幾何 / アルゴリズム / 国際研究者交流（アメリカ、オーストラリア） / 国際研究者交流（オーストラリア） |
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| Research Abstract |
研究代表者は、オーストラリアからJosep Dick准教授を招へいして共同研究をおこない、準モンテカルロ法において重要な(t,m,s)-ネットのt値を、離散フーリエ変換を用いて高速に計算するアルゴリズムを開発し、共同論文として投稿した。また、アメリカからArt Owen教授を招へいし、相補的な低齟齬点集合を多数用いた、準モンテカルロ法のランダム化の研究に着手した。また、望月新一氏の構成したGraph of anabelioidにおいて、anabelioidを淡中圏に置き換えることで、affine群スキームの自由積や融合積を含む幅広い構成を可能とした。
研究代表者は、2011年にユタパークシティ数学研究所で行った招待連続講演をもとに、モジュライ空間の数論に関する論文を執筆し、AMSに受理されている。
連携研究者望月は、ABC予想に対する証明を与えた。Inter Universal Geometryと名付けられた斬新な手法によるもので、長編の論文４つから構成されており、現在その検証を進めている。
7月に東北大で整数論集会、12月に東大でモチーフ国際集会を、3月に首都大で分岐被覆集会を開催した。モチーフ集会では3名の海外研究者を招聘し成果を聞いた。7月ポーランドECMにて鎌田が、9月ドイツにて古庄が成果発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究代表者は、モジュライ空間の数論的基本群における、織田予想やDeligne-伊原予想（どちらも解決済み）に関するレクチャーノートを執筆し、アメリカ数学会に受理されている。また、代数の応用として、準モンテカルロ積分点集合に関してWalsh Figure of Meritという指標を導入し、実際に数値積分で有効であることを実験で確かめた。さらに、Josep Dick氏との共同研究により、(t,m,s)-netのt値を求める高速なアルゴリズムを開発した。従来は計算が困難と思われていたものであるが、離散フーリエ変換を使って実現できた。
連携研究者である望月新一氏が、ABC予想の証明を発表したことは極めて重大な進展である。この証明の検証には相当の時間がかかると思われるが、検証の過程でさらなる進展が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数的・幾何的アルゴリズムについては予想以上のものが開発された。すなわち、有限体から構成されたデジタルネットに対し、そのｔ値を高速に計算できるようになったため、従来は困難だったランダムサーチや、ｔ値の良さと積分誤差との相関をしらべるなど、若手研究者や博士学生にとって恰好の課題が複数みつかり、数値積分など多方向への進展と実用が期待できる。
ABC予想の証明については、東京大学・広島大学にてセミナーを開きつつ検証を進める。この検証には大変な時間がかかると思われるが、望月氏の理論はABC予想にとどまるものではなく、Universeを複数用いてUniverse間にいわば関手のようなものを構成し、そのゆるみ具合を利用する方法であり、整数環上のフロベニウス類似を作るもので、さまざまな応用が期待される。
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