2012 Fiscal Year Annual Research Report
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23244008
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岩瀬 則夫 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60213287)
大本 亨 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20264400)
與倉 昭治 鹿児島大学, 理工学研究科, 教授 (60182680)
鎌田 聖一 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60254380)
佐久間 一浩 近畿大学, 理工学部, 教授 (80270362)
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| Project Period (FY) |
2011-05-31 – 2016-03-31
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| Keywords | 可微分写像 / 特異点 / 不変量 / 特異Lefschetz束 / 同境 / 特性類 / 国際研究者交流 / フランス:ドイツ:ブラジル |
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| Research Abstract |
写像の特異点論を，大域的観点，幾何構造付きでの観点等の新たな観点から見直し，数学の現代的潮流の中での特異点論の新たな展開・発展の様々な方向性をさぐることが大きな目的である．そのため平成24年度は，特異シンプレクティック構造と特異Lefschetz束構造の変形理論の研究を進め，4次元多様体から閉曲面へのどんな写像も特異Lefschetz束であって，折り目特異点像が埋め込まれているものにホモトピーで変形できることを構成的に示すことに成功した．また，ホモロジー的条件さえ満たせば，どのような1次元部分多様体も折り目特異点集合として実現可能であることを示した．さらに，複素超曲面特異点に付随した結び目の同境について調べ，Brieskorn型多項式で定義される場合，その指数が多くの場合に同境不変量となることを示した．これは特異点の同変指数が結び目の同境不変量であることを巧みに利用することによって示された．さらに，より一般の擬斉次多項式についても，ある場合には重みが同境不変量となることを示した．さらに，一般的な可微分写像のStein分解が三角形分割可能であることを示し，応用としていくつかのオイラー標数公式を得た．また，特異多様体の特性類の研究も進め，特にChern-Schwartz-MacPherson classについて詳しく調べた．モチビックHirzebruch classについても調べ，さらにproalgebraic varietiesの特性類と，モチビック測度の関係についても研究した．また，こうした特性類をThom多項式との関連の観点からも研究した．さらに，特異写像の特異点消去を，はめ込み・埋め込みリフトの観点からも研究し，スペシャル・ジェネリック写像についてそうしたリフトが存在するための条件について詳しく調べた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２４年度に予定していた研究がほぼ予定通りに進行している．特に，特異点解消の観点から，埋め込み・はめ込みリフトの存在性問題を考えると，微分トポロジーにおける古典的諸結果と大きな関係があり，そうした事柄が問題の解決に重要な役割を果たすことに気が付いたことは，今後につながる大きな収穫であった．また，Lefschetz束の変形理論を特異点論的立場から整備することができたことも大きな成果である．
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| Strategy for Future Research Activity |
予定通り，多様体の大域的構造と写像の特異点について（特に，可微分構造の「差」の代数的表現について），多様体の同境理論に基づいた有限型不変量・量子不変量の定式化について，特異Lefschetz 束構造の変形理論の展開について，複素超曲面特異点の位相型について，特異多様体の特性類について，特異点・特異ファイバーの消去のためのホモトピー論的障害について，研究を進めてゆく．特に，埋め込み・はめ込みリフトの存在・非存在と可微分構造の差の関係について重点的に研究を進めて行く予定である．また，特異Lefschetz束を用いた4次元多様体の不変量についても，特異点論的観点から研究を進めて行く．
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