2012 Fiscal Year Annual Research Report
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23244017
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
俣野 博 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40126165)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 健一 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (40293120)
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
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| Project Period (FY) |
2011-05-31 – 2015-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 拡散方程式 / 進行波 / 界面運動 / 自由境界問題 / 順序保存力学系 / 国際研究者交流(フランス) / 国際情報交換（中国） |
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| Research Abstract |
◎【曲線の曲率運動と進行波】 境界がノコギリの歯状をした2次元帯状領域における曲線の曲率運動方程式を考え，進行波の性質を調べた．その結果，境界の形状がエルゴード的であれば進行波の平均速度が確定することを示すとともに，平均速度が0の進行波が存在しうることを発見し，この現象を``virtual pinning"と名付けた．これは，研究分担者の中村健一氏，および中国の婁本東氏との共同研究である（文献１）．
◎【進行テラス解の研究】 多くの非線形拡散方程式に進行波が現れることはよく知られているが，多重安定な非線形項をもつ方程式の場合は，解の挙動はずっと複雑になる．本研究では，「進行テラス解」という新しい概念を導入して，非常に一般的な非線形項に対する空間１次元半線形拡散方程式の解の長時間挙動を詳しく分類することに成功した（文献２）．
◎【遷移層の形状の研究】 Allen-Cahn型非線形拡散方程式の特異極限で現れる不連続界面の運動が平均曲率流に支配されることは，よく知られている．しかし，特異極限の近くで現れる切り立った遷移層の形状が，形式的漸近展開から予想される形状と一致するかどうかは未解決であった．俣野は，フランスの M. Alfaro氏と共同で，この問題を肯定的に解決した（文献３）．
◎【強順序保存力学系の研究】 中村は，強順序保存力学系のあるクラスにおける非有界な全軌道についての研究を行い， それをスパイラル結晶成長のモデルを含む非線形放物型方程式に適用して，時間周期的なプロファイルを持つ非有界な時間大域解の一意存在および漸近安定性を示した（文献４）．
この他，KPP型拡散方程式にStefan条件を課した自由境界問題についてオーストラリアのY.Du氏らと共同研究を行い，広がっていく自由境界の形状や正則性について成果が得られた（論文投稿中）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形拡散方程式に現れる進行波や界面運動については，全体的には満足のいく成果が得られている．また，新しいアイデアが幾つか生まれて，研究の対象が当初考えていたものよりも広がった．
一方で，交付申請時に予定していた，初期値がコンパクト台を持つ場合の進行テラス解については，Giletti氏が単独で研究を完成させたため，このテーマにかんする共同研究は打ち切り，同氏と共同で進行テラス解の一意性を研究することに方針転換した．
これに対し，非線形熱方程式の解の爆発については，他の研究テーマで手一杯となったため，研究の優先順位を当面下げている．しかしながら，本年7月に共同研究者のMerle氏が来日するのを機会に，研究を一気に進展させたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
Giletti氏と進めてきた進行テラス解の研究を継続し，次年度は一意性の問題を解決する．また，今回研究成果が得られた境界がコギリの歯状をした２次元帯状領域に現れる進行波のテーマについては，凸凹を限りなく細かくしていった均質化極限について詳しい研究を行う．また，ミネソタ大学の森洋一朗氏と進めているBidomainモデルの研究も，秋頃までに一定のめどを付けたい．
これとは別に，最近，上半平面上の曲線の曲率運動に付随した自由境界問題，および，伝染病モデルに関連した反応拡散系の進行波面ついて，新しい研究を開始した．この研究を継続する．
また，従来から進めてきて，ほぼ完成に近づいている双曲空間上の進行波面の研究，および２次元縞状の非一様性をもつ拡散方程式に現れる進行波の研究の完成を急ぐ．
一方で，非線形熱方程式の解の爆発に関しては，ベキ型の非線形項をもつ単独方程式に関するフランスの F. Merle 氏との共同研究を継続するのに加えて，新たに，Keller-Segel系と呼ばれる連立方程式を拡張したモデルに現れる爆発現象ついて，同じくフランスの H. Zaag氏と共同研究を開始した．これらの研究を継続する．
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