2012 Fiscal Year Annual Research Report
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23340009
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
翁 林 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60304002)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 安定性 / 翁ゼータ関数 / 楕円曲線 / モジュライstack / 放物reduction |
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| Research Abstract |
0. 国際会議の主催：２件. 国際会議の講演：四回。論文の出版：翁 林（代表者）は一篇。
1. ゼ－タ関数の研究：素晴らしい進展をいくつかありました。ドイツの Max-Planck Institute for Mathematics の Zagier 氏とともに、有限体上の楕円曲線の純非可換翁ゼ－タ関数のリーマン予想を成立することを証明した。この研究により、有限体上の楕円曲線上の半安定ベクドル束を精密な計算でき、いわゆる有限体上の曲線のalpha不変量とその古典的なbeta不変量の内在関係に関する数え Miracle を確立し、さらに、beta不変量の乗法構造も発見した。これは楕円曲線上の半安定ベクドル束に関する研究に置いて画期的な結果であった。
2. モジュライ空間の研究：翁林は有限体上の曲線上の半安定既約代数群束のモジュライ stack の有理点を計算し，関連する我々の既約代数群の基本領域と半安定格子のモジュライ空間の体積の研究と Harder-Narasimhan, Atiyah-Bott, Desale-Ramanan と Laumon-Rapoport の仕事から、既約代数群束のモジュライstackの放物reduction構造を量化し、Behrend 意味の既約代数群束のstack空間の有理点関する公式を予想した。これはモジュライstackの有理点の研究に置いて重大な進展とも言える。
3. 数論曲面の大域 adelic cohomology 群の構築の道筋をたてた。
4. Laurent Lafforgue (IHES スランス高等科学研究所, France)を招待することを決めた。一方、2012年9月にMax-Planck Institute for Mathematics (ドイツ) と、2013年3月にUCLAの数学教室(米国)を訪問した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
有限体上の曲線では、非可換ゼータ関数の研究は大きく2つのフレーズに分割することができる。最初のフレーズは, 私の論文 '関数体の非アーベル ゼータ関数'（Amer. J. Math., 2005）で開始した。その論文では、アーベル ゼータから非アーベル化を与え、さらに、コホモロジーとアイゼンシュタイン シリーズの理論に基づいて、それらの基本的な性質を調べた。一方、これらの新しいゼータに関して、リーマン仮説の欠如したことがわかる。故に, 彼らの研究は実らなかった。しかし、2011年IHESに訪問の間に、我はDrinfeldの曲線の基本群のsupercuspidal表現の研究を知った。Drinfledの仕事から学んだアイデアは、構造的な結果を得るために、準安定ベクトル束らに制限置けるべきことである。(つまり、次数ゼロを使用すべきことである。)
2012年に、新しく定義されたゼータに関して、私は楕円曲線の場合、例から、リーマン仮説でも検証した。さらに、カウント奇跡を発見し、リーマン仮説を証明するためのアプローチを概説した。
今年度には、Zagier氏との共同作業では、我々は楕円曲線に関するカウントの奇跡を確立し、リーマンの仮説を証明することができた。これは以下の2つの理由からこの領域の研究の突破口となったことがわかる：（1）すべてのゼータ関数はリーマンの仮説を満たすことである。これは歴史の中で初めて示したものである。（2）カウント奇跡の証明は、曲線上のベクトル束とその半安定部分のカウントが精密な構造を満たすことを示している。実際、カウント奇跡の証明のために、我々はコンビナトリアル手法と曲線の算術と幾何学の両方性質を使用しており、また、我々のリーマン仮説の証明は非常に難しいものである。
この二、三年間、我々のゼータ関数の研究は曲線の非アーベル算術側面の理論を高いレベルに発展させた。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．曲線上の既約代数群のモジュライstackの放物reduction構造を理解し，その有理点関する研究を定着したい。２．函数体に対し，二つの新型のゼ－タ関数の統一性と零点を研究し，函数体の非可換数論の発掘をしたい。３．新しい数論曲線とその上のadelic環と安定放物束を非可換類体論に結びつきたい。４．強LogSmooth写像の局所指標定理のLog幾何版の予想を立てたい。５．数論簇の大域cohomology群をadelic理論に構築したい。
具体的には,来年度研究の重点は数論多様体のcohomology 理論の構築である。これに関しては先ず数論曲面の場合を研究したい：数論曲面の有限部分のParshinのadelic 理論と無限部分のParshin-Osipovのadelic環のInd-Proj構造を用いて数論曲面のadelic cohomology 群を導入する。そのうえ, Kaehler 微分形式の留数の理論を用いて，導入されたcohomology 群の双対性を証明したい。さらに，次元３以上の場合も探求したい。ところで、一般の既約代数群Gに関しては、代数曲線の上のG-torsorも数えたい。これは数論幾何の中心問題の一つである。（SL(n)の場合, Harder-Narasimhan-Zagierの放物reduction, 安定性と質量に関する研究によって解決される。）我々はArthurのtruncation と安定性の関係を確立したい。(G=SL(n)の場合Lafforgueによる証明された。)そうすれば, 安定G-torsorのカウントはWeilの基本領域の体積とゼータ関数の特殊値の周知公式と小野の玉川数の研究から, Gの放物部分群Pの安定P-torsorの数（重さつき）をPの単Levi因子M_iの安定M_i-torsorのカウント（重さつき）によって表現したい。
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