2012 Fiscal Year Annual Research Report
反復積分と配置空間の幾何構造および量子位相不変量への応用
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23340014
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河野 俊丈 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (80144111)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺杣 友秀 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (50192654)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 組みひも群 / 配置空間 / 反復積分 / 写像類群 / 共形場理論 / 量子群 / 超幾何積分 |
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| Research Abstract |
組みひも群のホモロジー表現は，点付き円板の写像類群のその配置空間のアーベル被覆のホモロジー群への作用として定義される．この表現はLawrence, Krammer, Bigelowらによって研究された．組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．具体的には，パラメータが一般の場合に，Verma加群のテンソル積の零ベクトル空間への組みひも群の作用がホモロジー表現と同値であることを証明した．さらに，配置空間の局所系係数のホモロジー群への量子群の作用を調べ，組みひも群のホモロジー表現の量子対称性を記述した．パラメータが特殊な，無限遠においてレゾナントである場合に，共形ブロックへの組みひも群の表現と量子群の1のベキ根における表現を研究し，KZ方程式のGauss-Manin接続としての表示を得た．
共形場理論において，Riemann面のモジュライ空間上のベクトル束の射影平坦接続のモノドロミー表現として，写像類群の共形ブロックへの作用が定まる．L. Funarとの共同研究において，このような表現による写像類群の像の構造を研究した．組みひも群のBurau表現のパラメータが1のベキ根の場合について，モノドロミー群をSchwazの三角形群と関連して調べ，表現の像と核の記述を得た．これを用いて，種数とレベルが十分大きいとき，任意のJohnson部分群の像が，非可換自由群を含むことを示した．さらに，組みひも群のBurau表現の1のベキ根おける核と関連したSquierのいくつかの予想を解決した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初目標としていた，組みひも群のホモロジー表現の量子群による対称性の記述について，新しい展開があった．また，L. Funarとの共同研究が進展し，共形場理論における写像類群のモノドロミー表現の像と核について，新たな知見を得ることができた．
新展開として，A. Pajitnovとの共同研究により，複素超平面配置の補集合上でサークルに値をとるMorse理論を展開した．P. Orlikと寺尾宏明によって構成されたMorse関数にもとづいて超平面配置の補集合は，サークル上のファイバー束の構造をもつことを示しCW複体としての構造を決定した．超平面配置の補集合上の局所系のホモロジーについてはさまざまな研究があるが，ここでは，基本群の可換表現に対応したNovikovホモロジーに焦点をあてて研究した．Novikovホモロジーは正の表現といわれる基本群の可換表現について，中間次元以外で消滅することを証明した．この結果はこのクラスの表現に対応するウェイトがレゾナントでないことを示している．
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| Strategy for Future Research Activity |
Kavli IPMUとの連携を推進する．Kavli IPMU Komaba Seminarを定期的に開催し，そのための講演者の旅費，講演謝金を支出する．トポロジー火曜セミナーの支援を行う．東京大学で定期的に開催しているトポロジー火曜セミナーを支援する．一部の講演者の旅費，講演謝金を支する．海外の研究会での発表を行い，情報交換，研究討議をする．本年度，研究代表者は，ウィーンのシュレディンガー研究所で開催されるタイヒミュラー空間の量子化についての研究会，ベトナムで開催される量子トポロジーと双曲幾何に関する研究会，およびルーマニアで開催されるアメリカ数学会とルーマニア数学会のJoint meetingにおける超平面配置に関するセッションで，それぞれ，招待講演を行う．これらの研究会に参加するための渡航費を支出する．また，上のベトナムにおける研究会に参加する日本人若手数学者の旅費支援を行う．Pacific RIM Conferenceへの支援を行う．研究代表者はこの研究会においてPlenary talkを行うとともに，位相幾何学セッションの組織委員をつとめている．この研究会に参加する日本人若手数学者への旅費支援を行う．海外研究者の招聘について，本年度海外から，Pajitonov, Budney, Mateiの各氏の招聘を予定している．これらの研究者招聘のための旅費を支出する．このほか，幾何学関係図書の購入，計算機環境の整備を行う．
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