2012 Fiscal Year Annual Research Report
フレアー理論の研究とミラー対称性予想およびシンプレクティック幾何への応用
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23340015
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
太田 啓史 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50223839)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | シンプレクティック幾何 / フレアーコホモロジー / ミラー対称性予想 / ラグランジュ部分多様体 / 倉西構造 / 仮想基本類 / 深谷圏 |
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| Research Abstract |
本研究課題の連携研究者でもある深谷賢治氏（京都大学理学部）、小野薫氏（京都大学数理解析研究所）およびYong-Geun Oh氏（ウイスコンシン大学、米国）、Mohammed Abouzaid氏（MIT、コロンビア大学、米国）との共同研究により、フレアーコホモロジーの研究を行い、今年度は次の研究を行った。（完全とは限らない一般の）シンプレクティック多様体が与えられた時、そのラグランジアン部分多様体の集合が深谷圏を生成するための十分条件を、ホッホシルトホモロジーから量子コホモロジーへの開閉写像の像が単位元を含むという形に定式化し、その証明の主要な部分を完成させた。現在、証明の細部の検証を行ないつつ論文を執筆中である。これは、交付申請書における「研究目的」および「研究計画」の中で述べたトーリック多様体のホモロジー的ミラー対称性予想を解決するために第一ステップとして述べた、深谷圏の生成元を同定する問題に対する重要な成果である。一方、1990年半ば頃に深谷・小野により創始された倉西構造の理論、およびそれを用いておこなわれる安定写像のモジュライ空間の仮想基本類及びチェインの構成は、我々の研究においても基本となるが、今年度は、さるところからの要望により、倉西構造の理論の基礎および仮想基本類及びチェインの構成についてその解析的な部分も込めて議論と証明の細部を詳しく書き、論文 Fukaya, Oh, Ohta, Ono, `Technical details on Kuranishi structure and virtual fundamental chain.’ arXiv:1209.4410. を257ページのプレプリントとしてアーカイブ上で公表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
先に述べた通り、深谷圏の生成元の同定の問題は、本研究課題の最も大きなテーマである、トーリック多様体のホモロジー的ミラー対称性予想における重要なステップであり、それについて論文執筆はややおくれているものの数学的な内容としてはおおむね順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、今年度公表した倉西構造に関する論文の補足部分を早めに仕上げ公表する。同時に、反シンプレクティック対合の不動点に関するラグランジアンフレアー理論の論文の改訂を行なう。その後，深谷圏の生成元の判定条件に関する論文を仕上げる。
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