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2011 Fiscal Year Annual Research Report

解析的捩率と幾何学

Research Project

Project/Area Number 23340017
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Research InstitutionKyoto University

Principal Investigator

吉川 謙一  京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)

KeywordsBorcherdsΦ関数 / Enriquies曲面 / 保型形式 / Thomae公式
Research Abstract

BorcherdsΦ関数の代数的表示とその応用について詳細に研究した.極めて重要な楕円モジュラー形式として,Dedekindのη関数が19世紀以来詳しく研究されたきたが,BorcherdsΦ関数は様々な意味でその自然な高次元化である.Dedekindのη関数の異なる三つの表示,即ち,無限積展開あるいはFourier級数展開,楕円曲線の解析的振率としての表示,楕円曲線の判別式としての表示は19世紀以来知られているが,BorcherdsΦ関数については(そのEnriques曲面との強い関係にも拘らず)いかなる代数的表示も知られていなかった.(無限積展開とFourier級数展開についてはBorcherds自身が示しており,Enriques曲面の解析的捩率としての表示は当該研究者により示されていた.)2011年度に行った向井茂(京大・数理研),川口周(大阪大学)両氏との共同研究により,一般のEnriques曲面の周期におけるBorcherdsΦ関数の代数的表示を得る事ができた.一般のEnriques曲面が5次元射影空間の(2,2,2)型完全交叉を対合θ(x,y,z,u,v,w)=(x,y,z,-u,-v,-w)で割って得られる事は20世紀初頭以来知られているが,この表示を用いてBorcherdsΦ関数の代数的表示を得る事ができる.θで不変な2次式はx,y,zの2次式とu,v,wの2次式の和になるので,θ不変な(2,2,2)完全交叉には自然にx,y,zに関する3個の2次式とu,v,wに関する3個の2次式が対応する.それぞれの3個の3変数2次式から終結式が得られるが,BorcherdsΦ関数はこれら2個の終結式の積と(2,2,2)型完全交叉から定まるPoincare留数形式の適当な2-サイクル上の積分として得られる.この様に,Dedekindのη関数で成り立っていた等式が,ほぼそのままの形式でBorcherdsΦ関数に拡張できた.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究実施計画で予定した3項目の中、2項目は当初の計画以上の進展が得られ、加えて予想外の展開も得られたため。1項目については、大きな進展がなかった。

Strategy for Future Research Activity

2011年度の研究をさらに発展させ、対合付きK3曲面の解析的捩率不変量のモジュラー性を証明する。また、ボルチャーズΦ関数の代数的表示に関する結果を、カラビ・ヤウ型のエンリケス多様体に拡張する。2011年度はあまり進展の無かった三次元カラビ・ヤウ多様体のBCOV不変量の特異性を、半安定退化の場合に決定する。

  • Research Products

    (10 results)

All 2012 2011 Other

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (7 results)

  • [Journal Article] K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space II

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Journal Title

      Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik

      Volume: (掲載決定)

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space III

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: (掲載決定)

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Appendix to "The unirationality of the moduli spaces of 2-elementary K3 surfaces" by S.Ma

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Journal Title

      Proceedings of the London Mathematical Society

      Volume: (掲載決定)

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 解析的捩率とBCOV予想2012

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      日本数学会企画特別講演
    • Place of Presentation
      東京理科大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-03-28
  • [Presentation] On the value of Borcherds Φ-function2011

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      Automorphisms of algebraic varieties-Dynamics and Arithmetic, Shirahama
    • Place of Presentation
      和歌山県白浜町(招待講演)
    • Year and Date
      2011-12-23
  • [Presentation] Resultants and Borcherds Φ-function2011

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      Automorphic forms and moduli spaces
    • Place of Presentation
      Centre International de Rencontres Mathematiques, France(招待講演)
    • Year and Date
      2011-10-11
  • [Presentation] On the value of Borcherds Φ-function2011

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      Kyoto-Paris-Barcelona Seminar in Arakelov Geometry
    • Place of Presentation
      Barcelona大学, Spain(招待講演)
    • Year and Date
      2011-09-08
  • [Presentation] On the value of Borcherds Φ-function2011

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      Workshop on Arithmetic and Geometry of K3 surfaces and Calabi-Yau threefolds
    • Place of Presentation
      The Fields Institute for research in Mathematical Sciences, Canada(招待講演)
    • Year and Date
      2011-08-18
  • [Presentation] Resultants and Borcherds Φ-function2011

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      Infinite Analysis 11
    • Place of Presentation
      東京大学(招待講演)
    • Year and Date
      2011-07-28
  • [Presentation] Singularities and analytic torsion2011

    • Author(s)
      吉川謙一
    • Organizer
      Kyoto Symposium on Complex Analysis in Several Variables XIV
    • Place of Presentation
      京都大学(招待講演)
    • Year and Date
      2011-07-22

URL: 

Published: 2013-06-26  

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