2012 Fiscal Year Annual Research Report
衝突・剥離・付着現象の変分法的アプローチによる数理解析
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23340024
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
小俣 正朗 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20214223)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長山 雅晴 北海道大学, 電子科学研究所, 教授 (20314289)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 変分問題 / 数値解析 / 双曲型 / 偏微分方程式 |
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| Research Abstract |
非線形偏微分方程式・変分問題で、余次元が存在する幾何学的測度論に関連する問題を研究対象としてきた。この問題は変分問題を出発点として、放物型への拡張は自然に行われてきたが正則性の問題などから、双曲型への拡張はあまり行われてこなかった。
本研究では幾何学的測度論と双曲型との融合をメインテーマとして研究を行っている。特に、具体的な問題として双曲型自由境界問題を想定してきた。この問題に対して弱解の存在（１次元）、離散勾配流を用いた数値解法の開発を行ってきた。物理的イメージとして、液滴の付着問題が挙げられる。方程式レベルではデルタ測度が出現するなど取り扱いは難しい。そこで時間方向を離散化した離散ラグランジェアンとも言える方法論を導入し最小化問題として定式化した。これらを変分の直接法に基づくアルゴリズムで数値計算を行った。
また、離散ラグランジェアンは弾性体ボールの衝突問題などにも応用でき、それらの定式化を行い数値解法を開発した。
このように、今後は数学的手法と共に数値解析法の開発にも取り組み応用まで含んだ総合的な解析方法の開発を洗練させていくことを目指すこととする。さらに、薄膜と流体の連成解析への端緒も開きたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
双曲型自由境界問題やボールのバウンスについての基本的な定式化とソフトウェアの開発およびテストが終わった。これからは流体との連成解析に取り組む段階となり、当初予定していた課題をおおむねクリアしていると考えられるためこのように判定した。
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| Strategy for Future Research Activity |
ラグランジェアンから変分問題（離散勾配流）を用いて新たな近似解の構成方法などを考える。これは自由境界・体積保存問題など方程式では取り扱いにくい問題群に対して有効な方法論となりうる。離散解（時間差分）の真の解への収束可能性については様々なエネルギー評価が問題となる。最初は、自由境界を与える測度の項についてスムーシングを行い解の存在を示したい。（スムーシングをしたあとでも自由境界は存在する。）さらに、正則性の確保のためダンプ項をつけて連続性を持った解の存在を示しそこから真の解へのアプローチを行う。また、これらの解析方法に基づいた数値計算方法も開発し、解の妥当性について考察を行うと共に、計算ライブラリーの整備を行う。さらに連成解析ソフトウェアの開発も行う。
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