2012 Fiscal Year Annual Research Report
量子確率解析の新展開：作用素の変換理論とスペクトル解析
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23340027
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
尾畑 伸明 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (10169360)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
福泉 麗佳 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (00374182)
長谷川 雄央 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10528425)
久保 英夫 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (50283346)
瀬川 悦生 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (30634547)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 量子確率論 / 無限次元解析 / 複雑ネットワーク / スペクトル解析 / フォック空間 / 量子ホワイトノイズ / 量子確率過程 |
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| Research Abstract |
本研究は、解析的側面として量子ホワイトノイズ理論、代数的側面として複雑ネットワークのスペクトル解析をコアテーマとして取り上げ、その基礎理論を深化させるとともに関連分野との連携を強化することで、量子確率解析を大きく展開することを目指している。特に、古典論の背後にある非可換的な構造をさぐり、量子確率過程の一般化を発展させ、ネットワーク上の確率解析や非線形方程式に新しいアプローチを導入することを念頭に5課題を設定している。
１．フォック空間上の作用素の変換理論：2次の量子ホワイトノイズから生成される変換群の一般的な定式化とユニタリ化問題を中心に研究を継続している。２．一般化された量子確率微分方程式と古典論への還元：量子ホワイトノイズ微分による微分方程式の諸性質を調べた。特に、微分方程式を解くことで正規積へ変換されるという新しい手法を得た。３．多様な独立性に付随する量子確率解析：グラフの積構造と独立性の諸概念の関連を明らかにしてきた。特に、有向グラフのマンハッタン積に付随して、独立性の新しい概念を定式化する道筋が見えてきた。q変形ホワイトノイズに関する準備的研究を継続している。４．複雑ネットワーク上の量子確率解析：有向パスグラフのマンハッタン積に関して、漸近的スペクトルを具体的に求めた。距離kグラフに付随する組合せ論的中心極限定理を導出した。ネットワーク上の各種ダイナミクスの相転移現象について数値計算も含めて様々に新しい結果を得た。５．物理学への応用：量子ウォークの統計的性質、特に局在化が生じるためのグラフの定性的な性質を把握するための具体例の蓄積をした。グラフ上の非線形シュレーディンガー方程式や波動方程式の漸近挙動の研究と量子確率解析の手法との接点を探究している。
関連する研究会を主催し、周辺分野の研究者との接点を確保しつつ、多くの論文発表・口頭発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
１．新しく導入した量子ホワイトノイズ微分による微分方程式による作用素の特徴づけと正規積への変換の処方箋が得られた。作用素の正規積を微分方程式の解として求める手法によって、古典対応への移行が見やすくなる可能性がありさらなる発展性が見込まれる。
２．複雑ネットワークの積構造に関連して、マンハッタン積のスペクトル解析が進展した。さらに複雑ネットワーク上の各種ダイナミクスの相転移現象を多くの具体例で蓄積した。ネットワークの背後にある非可換構造を探究するための準備的成果が順調に得られている。
３．各種グラフ上の量子ウォークについて多くの具体例が蓄積できた。これらの成果をもとに、極限分布の普遍性や局在化の条件などの課題に対して、量子確率解析と融合した新しい手法が期待できる段階に来た。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の成果を踏まえて、１．フォック空間上の超関数的作用素論である「量子ホワイトノイズ理論」の深化をめざす。新しく導入した量子ホワイトノイズ微分による微分方程式の一般論を進展させる。高次の量子ホワイトノイズを含む作用素の特徴づけが視野に入る。２．古典確率解析におけるギルサノフ変換、およびその一般化の量子版を構成し、古典-量子対応を確立する。グラフ上の非線形偏微分方程式論との関連を軸に、グラフ上の量子確率解析を構築する。３．組合せ論的な観点から量子中心極限定理を見直し、その一般化と高次化を議論する。関連して、相互作用フォック空間のアイデアを拡張して、多変数直交多項式を具体例を通して理解する。４．これまでに構築してきた量子確率論的手法を複雑ネットワークに適用すべく拡張する。特に、パーコレーションや接触過程の非可換拡張を探究する。５．ボゴリューボフ変換のユニタリ性の検証に関連して、場の量子論の立場から連携研究者の協力を得て散逸量子系に応用することを狙う。グラフ上の非線形シュレーディンガー方程式や波動方程式の漸近挙動に関連する偏微分方程式の諸手法を検証し、量子確率解析との接点を整理する。
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