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2012 Fiscal Year Annual Research Report

量子確率解析の新展開:作用素の変換理論とスペクトル解析

Research Project

Project/Area Number 23340027
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

尾畑 伸明  東北大学, 情報科学研究科, 教授 (10169360)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 福泉 麗佳  東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (00374182)
長谷川 雄央  東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10528425)
久保 英夫  東北大学, 情報科学研究科, 教授 (50283346)
瀬川 悦生  東北大学, 情報科学研究科, 助教 (30634547)
Project Period (FY) 2011-04-01 – 2015-03-31
Keywords関数解析学 / 量子確率論 / 無限次元解析 / 複雑ネットワーク / スペクトル解析 / フォック空間 / 量子ホワイトノイズ / 量子確率過程
Research Abstract

本研究は、解析的側面として量子ホワイトノイズ理論、代数的側面として複雑ネットワークのスペクトル解析をコアテーマとして取り上げ、その基礎理論を深化させるとともに関連分野との連携を強化することで、量子確率解析を大きく展開することを目指している。特に、古典論の背後にある非可換的な構造をさぐり、量子確率過程の一般化を発展させ、ネットワーク上の確率解析や非線形方程式に新しいアプローチを導入することを念頭に5課題を設定している。
1.フォック空間上の作用素の変換理論:2次の量子ホワイトノイズから生成される変換群の一般的な定式化とユニタリ化問題を中心に研究を継続している。2.一般化された量子確率微分方程式と古典論への還元:量子ホワイトノイズ微分による微分方程式の諸性質を調べた。特に、微分方程式を解くことで正規積へ変換されるという新しい手法を得た。3.多様な独立性に付随する量子確率解析:グラフの積構造と独立性の諸概念の関連を明らかにしてきた。特に、有向グラフのマンハッタン積に付随して、独立性の新しい概念を定式化する道筋が見えてきた。q変形ホワイトノイズに関する準備的研究を継続している。4.複雑ネットワーク上の量子確率解析:有向パスグラフのマンハッタン積に関して、漸近的スペクトルを具体的に求めた。距離kグラフに付随する組合せ論的中心極限定理を導出した。ネットワーク上の各種ダイナミクスの相転移現象について数値計算も含めて様々に新しい結果を得た。5.物理学への応用:量子ウォークの統計的性質、特に局在化が生じるためのグラフの定性的な性質を把握するための具体例の蓄積をした。グラフ上の非線形シュレーディンガー方程式や波動方程式の漸近挙動の研究と量子確率解析の手法との接点を探究している。
関連する研究会を主催し、周辺分野の研究者との接点を確保しつつ、多くの論文発表・口頭発表を行った。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

1.新しく導入した量子ホワイトノイズ微分による微分方程式による作用素の特徴づけと正規積への変換の処方箋が得られた。作用素の正規積を微分方程式の解として求める手法によって、古典対応への移行が見やすくなる可能性がありさらなる発展性が見込まれる。
2.複雑ネットワークの積構造に関連して、マンハッタン積のスペクトル解析が進展した。さらに複雑ネットワーク上の各種ダイナミクスの相転移現象を多くの具体例で蓄積した。ネットワークの背後にある非可換構造を探究するための準備的成果が順調に得られている。
3.各種グラフ上の量子ウォークについて多くの具体例が蓄積できた。これらの成果をもとに、極限分布の普遍性や局在化の条件などの課題に対して、量子確率解析と融合した新しい手法が期待できる段階に来た。

Strategy for Future Research Activity

今年度の成果を踏まえて、1.フォック空間上の超関数的作用素論である「量子ホワイトノイズ理論」の深化をめざす。新しく導入した量子ホワイトノイズ微分による微分方程式の一般論を進展させる。高次の量子ホワイトノイズを含む作用素の特徴づけが視野に入る。2.古典確率解析におけるギルサノフ変換、およびその一般化の量子版を構成し、古典-量子対応を確立する。グラフ上の非線形偏微分方程式論との関連を軸に、グラフ上の量子確率解析を構築する。3.組合せ論的な観点から量子中心極限定理を見直し、その一般化と高次化を議論する。関連して、相互作用フォック空間のアイデアを拡張して、多変数直交多項式を具体例を通して理解する。4.これまでに構築してきた量子確率論的手法を複雑ネットワークに適用すべく拡張する。特に、パーコレーションや接触過程の非可換拡張を探究する。5.ボゴリューボフ変換のユニタリ性の検証に関連して、場の量子論の立場から連携研究者の協力を得て散逸量子系に応用することを狙う。グラフ上の非線形シュレーディンガー方程式や波動方程式の漸近挙動に関連する偏微分方程式の諸手法を検証し、量子確率解析との接点を整理する。

  • Research Products

    (29 results)

All 2013 2012 Other

All Journal Article (13 results) (of which Peer Reviewed: 13 results) Presentation (14 results) (of which Invited: 7 results) Book (1 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Absence of the non-percolating phase for percolation on the non-planar Hanoi network2013

    • Author(s)
      Takehisa Hasegawa and Tomoaki Nogawa
    • Journal Title

      Physical Review E

      Volume: 87 Pages: 032810-1-4

    • DOI

      10.1103/PhysRevE.87.032810

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Generalized wave operators for a system of nonlinear wave equations in three space dimensions2013

    • Author(s)
      Hideo Kubo and Koji Kubota
    • Journal Title

      Hokkaido Mathematical Journal

      Volume: 42 Pages: 1-31

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Limit measures of inhomogeneous discrete-time quantum walks in one dimension2013

    • Author(s)
      T. Luczak, N. Konno and E. Segawa
    • Journal Title

      Quantum Information and Processing

      Volume: 12 Pages: 33-53

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Localization of quantum walks induced by recurrence properties of random walks2013

    • Author(s)
      E. Segawa
    • Journal Title

      Journal of Computational and Theoretical Nanoscience

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Spectra of Manhattan Products of Directed Paths Pn#P22012

    • Author(s)
      Nobuaki Obata
    • Journal Title

      Interdisciplinary Information Sciences

      Volume: 18 Pages: 43-54

    • DOI

      10.4036/iis.2012.43

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Asymptotic spectral distributions of distance k-graphs of large-dimensional hypercubes2012

    • Author(s)
      Nobuaki Obata
    • Journal Title

      Banach Center Publications

      Volume: 96 Pages: 287-292

    • DOI

      10.4064/bc96-0-20

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Manhattan Products of Digraphs: Characteristic polynomials and examples2012

    • Author(s)
      Nobuaki Obata
    • Journal Title

      Ann. Funct. Anal.

      Volume: 3 Pages: 135-143

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] One-mode interacting Fock spaces and random walks on graphs2012

    • Author(s)
      Nobuaki Obata
    • Journal Title

      Stochastics

      Volume: 84 Pages: 383-392

    • DOI

      10.1080/17442508.2010.550919

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Stationary problem related to the nonlinear Schrodinger equation on the unit ball2012

    • Author(s)
      Reika Fukuizumi, Fouad Hadj Selem and Hiroaki Kikuchi
    • Journal Title

      Nonlinearity

      Volume: 25 Pages: 2271-2301

    • DOI

      10.1088/0951-7715/25/11/2993

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Representation formula for stochastic Schrodinger evolution equations and applications2012

    • Author(s)
      Anne de Bouard, Reika Fukuizumi
    • Journal Title

      Nonlinearity

      Volume: 25 Pages: 2993-3022

    • DOI

      10.1088/0951-7715/25/11/2993

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Generalized Scaling Theory for Critical Phenomena Including Essential Singularities and Infinite Dimensionality2012

    • Author(s)
      Tomoaki Nogawa, Takehisa Hasegawa, Koji Nemoto
    • Journal Title

      Physical Review Letters

      Volume: 108 Pages: 255703-1-5

    • DOI

      10.1103/PhysRevLett.108.255703

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Criticality governed by the stable renormalization fixed point of the Ising model in the hierarchical small-world network2012

    • Author(s)
      Tomoaki Nogawa, Takehisa Hasegawa, Koji Nemoto
    • Journal Title

      Physical Review E

      Volume: 86 Pages: 030102-1-4

    • DOI

      10.1103/PhysRevE.86.030102

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Lower bounds for the lifespan of solutions to nonlinear wave equations in elasticity2012

    • Author(s)
      Hideo Kubo
    • Journal Title

      In "Evolution Equations of Hyperbolic and Schrödinger Type (M. Ruzhansky, M. Sugimoto, and J. Wirth, Editors)"

      Volume: 1 Pages: 187-212

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] ネットワークにおける臨界点の一意性II2013

    • Author(s)
      長谷川雄央・能川知昭
    • Organizer
      日本物理学会第68回年次大会
    • Place of Presentation
      広島
    • Year and Date
      20130326-20130329
  • [Presentation] On the study of quantum graph : a mapping to coined quantum walk2013

    • Author(s)
      E. Segawa
    • Organizer
      American Mathematical Society, Special Session on Quantum Walks and Related Topics
    • Place of Presentation
      San Diego, USA
    • Year and Date
      20130110-20130110
  • [Presentation] Asymptotic spectral distributions of distance k-graphs of Cartesian product graphs2012

    • Author(s)
      N. Obata
    • Organizer
      International Conference in Honour of Sixtieth Birthday of Rajendra Bhatia: Matrices and Operators
    • Place of Presentation
      Bangalore, India
    • Year and Date
      20121227-20121230
    • Invited
  • [Presentation] Quantum probability and asymptotic spectral analysis of growing graphs2012

    • Author(s)
      N. Obata
    • Organizer
      International Conference on Stochastic Modelling and Simulation (ICSMS2012)
    • Place of Presentation
      Chennai, India
    • Year and Date
      20121217-20121219
    • Invited
  • [Presentation] Recent developments of quantum white noise calculus: Quantum stochastic derivatives and their applications2012

    • Author(s)
      N. Obata
    • Organizer
      RIMS 研究集会「量子場の数理とその周辺」
    • Place of Presentation
      京都
    • Year and Date
      20121114-20121116
  • [Presentation] On the null condition for nonlinear massless Dirac equations2012

    • Author(s)
      久保英夫
    • Organizer
      弘前非線形方程式研究会
    • Place of Presentation
      弘前
    • Year and Date
      20121103-20121103
    • Invited
  • [Presentation] Gross-Pitaevskii equation with noise2012

    • Author(s)
      福泉麗佳
    • Organizer
      研究集会「Analytical and Numerical Advances around Schrodinger equations」
    • Place of Presentation
      Toulouse, France
    • Year and Date
      20121022-20121026
    • Invited
  • [Presentation] Localization of quantum walks on spidernets2012

    • Author(s)
      N. Obata
    • Organizer
      QP 33 "Quantum Probabilities and Related Fields"
    • Place of Presentation
      Luminy, France
    • Year and Date
      20121001-20121005
    • Invited
  • [Presentation] ネットワークにおける臨界点の一意性2012

    • Author(s)
      長谷川雄央・能川知昭
    • Organizer
      日本物理学会2012年秋季大会
    • Place of Presentation
      横浜
    • Year and Date
      20120918-20120921
  • [Presentation] Derivation of Bose-Hubbard model -Approximation by DNLS2012

    • Author(s)
      福泉麗佳
    • Organizer
      九州大学マス・フォア・インダストリ研究所研究集会「光ファイバーとそれに関連する非線形偏微分方程式の研究」
    • Place of Presentation
      福岡
    • Year and Date
      20120820-20120824
  • [Presentation] Percolation on complex networks and nonamenable graphs2012

    • Author(s)
      Takehisa Hasegawa
    • Organizer
      ECT* Workshop "Spectral Properties of Complex Networks"
    • Place of Presentation
      Trento, Italy
    • Year and Date
      20120723-20120727
  • [Presentation] Quantum walks induced by quantum graphs2012

    • Author(s)
      E. Segawa
    • Organizer
      7th Jikji Workshop on IDAQP
    • Place of Presentation
      Cheongju, Korea
    • Year and Date
      20120721-20120721
  • [Presentation] Global existence for critical nonlinear massless Dirac equations with null structure in 3D2012

    • Author(s)
      H. Kubo
    • Organizer
      9th AIMS conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications, Special Session 41
    • Place of Presentation
      Orlando, USA
    • Year and Date
      20120703-20120703
    • Invited
  • [Presentation] Random walk, quantum walk, and quantum probability2012

    • Author(s)
      N. Obata
    • Organizer
      6th KMS Probability Workshop
    • Place of Presentation
      Seoul, Korea
    • Year and Date
      20120601-20120601
    • Invited
  • [Book] 確率モデル要論2012

    • Author(s)
      尾畑伸明
    • Total Pages
      1-298
    • Publisher
      牧野書店
  • [Remarks] 研究室ウェブページ

    • URL

      http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/

URL: 

Published: 2014-07-24  

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