2014 Fiscal Year Annual Research Report
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23340028
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小池 茂昭 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90205295)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 卓克 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20224107)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 教授 (40232227)
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
長井 英生 関西大学, 工学部, 教授 (70110848)
三上 敏夫 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70229657)
石毛 和弘 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90272020)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 粘性解 / 最大値原理 / 比較原理 / ヘルダー連続 / 分数冪ラプラス作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
準線形二階楕円型偏微分方程式の粘性解の比較原理を得た。pラプラス方程式は、変分問題から自然に現れる準線形退化楕円型方程式であり、超関数解を弱解とした存在・一意性・微分可能性が研究されてきた。また、pラプラス方程式のpを形式的に無限大に極限をとった無限大調和関数は、最適リプシッツ拡張問題に自然に現れ、代表的な非発散型方程式であり、粘性解を弱解として、近年、盛んに研究がされてきた。ここでは、これらの準線形偏微分方程式の粘性解の一意性に関して、新しい未知関数変換を用いることで、簡明な証明を与えた。さらに、この簡明な証明のおかげで、準線形方程式が解の一意性を保証するための構造を明らかにした。
非局所作用素（分数冪ラプラス作用素）と低階の超線形項のある微分積分方程式の粘性劣解のヘルダー連続性を導いた。通常、ヘルダー連続性は「解」に対して得られる性質であるが、ラプラス作用素と超線形増大度の１階微分項がある場合に、劣解に対してヘルダー連続性が導かれることが最近分かってきた。この、自然な一般化として、ブラウン運動に対応するラプラス作用素の代わりに、ジャンプのあるレヴィ過程に現れる分数冪ラプラス作用素に対しても一般化できることを示した。
Brezisは、全空間における半線形楕円型方程式の弱解の適切性を、解の無限遠での挙動を仮定せずに示した。この著名な結果は、様々な一般化が研究される中、近年、Vitoloを中心に非発散型方程式へと拡張されてきた。さらに、一階微分に超線形増大項を付け加えた時の解の適切性に関して、我々の結果を改良することで取り組んでいる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
従来の研究で、超線形増大度を持つ場合の完全非線形楕円型方程式の比較原理やレヴィ過程に現れる非局所作用素をもったIsaacs方程式の粘性解の表現定理を扱った。その自然な発展として、準線形方程式や分数冪ラプラス作用素、超線形増大度を持つ低階項をもった非線形偏微分方程式の粘性解の基礎理論の構築をするだけでなく、極めて広い方程式のクラスから一意性が導かれるという適切な方程式のクラスを提唱した点も今後の研究に方向性を与えるものと考えられる。
解の無限遠での挙動に制限を付けない、Brezisの半線形方程式の解に対する結果を非発散型かつ一階微分に超線形増大度を持つ場合に一般化することで、非線形項の指数の適切な条件を提唱した。これは、発散型と非発散型の方程式の解析において、技法は違えども、本質的類似があることを暗示している。
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| Strategy for Future Research Activity |
超線形増大度を持つ低階項がある方程式は、拡散項とのバランスにより興味深い現象が起こる。非発散型方程式の粘性解に対して、存在、一意性、安定性を研究することによって、発散型方程式と非発散型を統一する理論の構築を目指す。
準線形方程式が現れる問題への応用として、無限大調和方程式と平均曲率流方程式がを中心に研究する。特に、それぞれの障害問題は応用上重要で、数値実験で興味深い現象が観測される。これらの現象を説明する理論構築を目指す。
完全非線形一様放物型方程式のLp粘性解理論に関して急進展が見込まれるので、楕円型で行った研究を補間する理論を構築する。
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| Remarks |
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