2015 Fiscal Year Annual Research Report
Fundamental theory for viscosity solutions of fully nonlinear equations and its applications
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23340028
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
長井 英生 関西大学, システム理工学部, 教授 (70110848)
三上 敏夫 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70229657)
石毛 和弘 東北大学, 理学研究科, 教授 (90272020)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 粘性解 / 平均曲率流 / 障害問題 / ABP最大値原理 / 弱Harnack不等式 / 自由境界問題 / 処罰法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平均曲率流方程式の障害問題に関して、空間方向に2次の増大度がある場合の比較原理を得た。これは、既存の結果の一般化でもある。また、平均曲率流方程式の場合は、任意増大度での通常の比較原理が成り立つことは知られているが、障害問題でも成立することを示した。さらに、リプシッツ連続な粘性解の存在定理を障害問題で導いた。
一階微分項に非有界係数を持ち, 一階微分項が劣線形増大する場合の粘性解のABP最大値原理, 弱Harnack不等式を導いた. この場合には、弱最大値原理が成立しない例を挙げた。弱Harnack不等式の導出のため、バリアー関数が局所的に負であることが必要となる。しかし、弱最大値原理が成り立たないので、強最大値原理は期待できない。そのため、局所的な強最大値原理が成立することを発見し、その証明を与えた。この応用として, 非斉次項が非有界で、1<p<2の場合の特異性のあるp-Poisson方程式の粘性解のヘルダー連続性を導いた.
障害問題や勾配拘束問題など, 幾つかも自由境界問題の処罰法による近似方程式の近似解の収束性率を導いた。自由境界問題では、ベルマン型の偏微分方程式の解の視覚化のためには、ベルマン方程式を離散化することは困難で、典型的な近似法である処罰法を用いた近似解を数値解析によって視覚化することが重要である。そのために、近似解の収束率を求めることにより、離散化の精度を先験的に決定することが可能になる。
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| Research Progress Status |
27年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
27年度が最終年度であるため、記入しない。
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