2012 Fiscal Year Annual Research Report
非線形偏微分方程式の背後にある確率論的構造と確率論的な摂動による解構造の変化
| Project/Area Number |
23340030
|
|---|
| Research Institution | Meiji University |
|---|
Principal Investigator |
名和 範人 明治大学, 理工学部, 教授 (90218066)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
福泉 麗佳 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (00374182)
坂上 貴之 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10303603)
吉田 伸生 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (40240303)
松本 剛 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (20346076)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
|
| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 確率微分方程式 / シュレーディンガー方程式 / オイラー方程式 / 超流動 / 非線形光学 / 乱流 |
|---|
| Research Abstract |
本研究は，非線形光学や超流動と関係する (A) 非線形シュレーディンガー方程式などを解析するグループと (B) 古典乱流を解析するグループに分かれている．
グループ (A) ではボース＝アインシュタイン凝縮の超流動のモデル方程式を含むような場合，特に確率論的摂動を伴う場合の渦の運動の解析手法が重要になるが，その際には渦度測度の概念を用いずにエネルギー密度測度を取り入れるべきとの知見を見いだし検証を進めている．確率論的な摂動を伴わない場合には，基底波解が２種類の不安定方向を持つ事を見いだしているが，不安定解析やその周辺の現象の探求にネルソン拡散過程を応用する方法論を開発中である．
グループ (B) では，乱流の新しい数学的な理論の建設を目指して，(B1) マクロな視点と(B2) ミクロな視点からの両方からアプローチしている．(B2) では，流体の方程式確率論的なノイズを加えた場合の解析を行ったが，得られる解はオンサーガーの言うような乱流の属性は持ち得ないようである．しかしながら，高分子模型のような他の数理モデルとしての有用性が認められることが分かったきた．(B1) では，流体の方程式からは一旦離れ，乱流の期待される属性から理論を構築しようと試みて，コルモゴロフ予想とオンサーガー予想を現代的視点から見直し，擬似的なギブス測度の導入のための考察と検証を重ねた．乱流のサンプルはオイラー方程式の散逸的弱解であるとの見方が強まったが，厳密な数学とするために検証を進めているところである．
以上の結果のいくつか（特に流体に関連した結果）は，京都大学数理解析研究所の共同研究として採択された：RIMS 共同研究「偏微分方程式の背後にある確率過程と解の族が示す統計力学的な現象の解析」（平成２４年２月１３日～２月１５日実施）を利用して議論された．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
各グループにより多少の差はあるが，今後の研究の方向性がはっきりして来た．
非線形シュレーディンガー方程式の基底波解の不安定性について，あるクラスの非線形項を持つ方程式に対しては，ほぼ完全に理解できたと思われる．ソボレフの臨界指数を持つ場合や，基底波の近傍での解の挙動の分類の解析はまだ問題点が残されているが証明の完成を目指している．非線形光学のモデルとなっている場合の爆発解の挙動と解の背後にあるネルソン拡散過程の性質が明らかになりつつある．散乱理論への応用も視野に入ってきた． 確率論的な摂動を伴う場合は，１次元ホワイトノイズがポテンシャルとして伴う
線形のシュレーディンガー方程式の基本解を構成し，ランダムなストリッカーツ評価を導出し解のブラウン運動に関する連続性を偏微分方程式的手法によっできた．
乱流場の統計力学的な定式化も進展している．オイラー方程式の散逸的弱解の族を乱流のサンプルと考えることが数学的必然のように思えるが，方程式のスケール不変性が物理的な議論を呼ぶが，流体力学の専門家の松本が分担者となったことにより．その部分も克服しつつある．
|
| Strategy for Future Research Activity |
非線形シュレーディンガー方程式の基底波の不安定性やその近傍での解の挙動の分類を非線形項がソボレフの臨界指数を含む場合に行う．爆発解の振る舞いとネルソン拡散過程の性質の関係が明確になってきたので，それに注力を注ぐともに散乱理論への応用のための理論的な整備を行う．確率論的な摂動が伴う場合は，線形の場合に得られたランダムなストリッカーツ評価の非線形問題への応用を考える．
乱流場の解析においては，松本の加入により流体の物理理論と我々が目指しているものとの関連が明瞭になってきたので，数値的な検証も進めながら熱・統計力学的な乱流理論の構築を目指す．２次元乱流との関係で，α点渦系における点渦衝突とエンストロフィー散逸の関係を解析する．
|
