2013 Fiscal Year Annual Research Report
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23340034
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
宮地 晶彦 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60107696)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡田 正已 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (00152314)
古谷 康雄 東海大学, 理学部, 教授 (70234903)
菊池 万里 富山大学, 大学院理工学研究部(理学), 教授 (20204836)
田中 仁 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (70422392)
冨田 直人 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10437337)
澤野 嘉宏 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (40532635)
中井 英一 茨城大学, 理学部, 教授 (60259900)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 調和解析 / 関数空間 / 特異積分 / 多重線形作用素 / ハーディ空間 / BMO |
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| Research Abstract |
１．調和解析に現れる種々の関数空間と作用素の研究。
(1) 双線形フーリエ乗子作用素および双線形擬微分作用素の有界性を保証する乗子またはシンボルの条件について、双線形フーリエ乗子作用素の乗子の滑らかさを直積型ソボレフノルムで測る場合、混合ベゾフ型ノルムで測る場合、双線形擬微分作用素のシンボルがカルデラン＝バイランクール型の条件をみたす場合、について、ハーディ空間およびルベーグ空間での作用素の有界性に関するシャープな結果を得て、論文にまとめ、発表した。また、多重線形フーリエ乗子作用素の重み付きルベーグ空間での評価について、一つの反例を与えた。(2) 関数空間に関する研究において、マルチンゲールの作る変動指数ルベーグ空間、変動指数ハーディ空間、変動指数型モーレー空間、重み付きモーレー空間、オルリッチ＝モーレー空間など、知られた関数空間の種々の一般化を研究し多くの結果を得た。また、これらの関数空間を、分数階積分作用素などに応用して新しい評価を示した。(3) 調和解析に関する作用素の研究として、ポテンシャル型の正値作用素の重み付き空間での有界性、マルチンゲールに対する最大関数と２乗型関数のノルムの関係など、線形あるいは劣線形の作用素に対して成果を得た。
２．偏微分方程式論や関数近似論への調和解析の理論と手法の応用。
(1) ユークリッド空間上の関数を、選ばれた観測点での値を用いて近似する問題に対して、ベゾフ空間と補間の方法を応用し、観測点が不規則に分布する場合について結果を得た。(2) ３次元MHD方程式の弱解の一意性に関して、オルリッチ＝モーレー空間を利用した結果を得た。また、偏微分方程式の研究に現れるトレース作用素に対して、モーレー空間を利用した精密な評価を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多重線形のフーリエ乗子作用素や多重線形擬微分作用素は、最近、調和解析分野で盛んに研究されている興味深い研究対象である。これに関しては、乗子やシンボルの滑らかさを測る種々の方式を導入してシャープな結果を得るなど、よい成果が上がっている。さらに、乗子が特異性を持つ多重線形フーリエ乗子作用素は、様々な困難がある研究対象であるが、これに関しても現在すでに、フラッグパラプロダクトと呼ばれるものについて研究を進めつつある。関数空間に関しては、モーレー空間、重み付きハーディ空間、マルチンゲールの作る関数空間など、多くの新しい成果が得られている。偏微分方程式やウェーブレットなどへの実関数論と調和解析の手法の応用については、いくつか成果はあるが、成果はまだ十分とは言えない。
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| Strategy for Future Research Activity |
2014年度に筒井容平氏（東京大学大学院数理科学研究科、特任助教）を新たに研究分担者に加えて、偏微分方程式に実関数論と調和解析の手法を応用する研究、とくにナビエ・ストークス方程式の研究を進める。多重線形のフーリエ乗子作用素の研究では、フラッグパラプロダクトの研究を進める。重み付きモーレー空間等の関数空間とポテンシャル型作用素の研究では、条件の十分性だけでなく必要性についても研究する。
6月末から7月にかけて約2週間、アメリカのGeorgia College and State UniversityのHong Yue氏が来日するので、講演をしてもらい、関数空間に関して研究討論と研究情報交換を行う。6月30日から7月2日に京都大学数理解析研究所で開催される「調和解析と非線形偏微分方程式」には、Hong Yue氏と研究分担者らがともに出席し、研究討論を重ねる。
7月に、中国の牡丹江において第２回 East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications を、中国、韓国の研究者と共同で開催し、調和解析、関数解析、実解析に関して広く研究討論を行う。掛谷問題、振動積分、編微分方程式のStrichartz評価などに関する韓国のグループの研究、多重線形フーリエ乗子作用素や多重線形分数階積分の関する中国のグループの研究などは、とくに本研究課題に関係が深く、有用な討論が期待できる。
昨年度までに引き続き月に1回程度のペースで、東京大学大学院数理科学研究科を会場として、「調和解析駒場セミナー」を行う。「実関数論・函数解析学合同シンポジウム」、「実解析学シンポジウム」、「調和解析セミナー」において 、国内の調和解析学、実解析学、関数方程式の分野の研究者と、最新の研究に関する情報交換と意見交換を行う。
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