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2011 Fiscal Year Annual Research Report

離散可積分系と離散微分幾何による応用解析

Research Project

Project/Area Number 23340037
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

梶原 健司  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 井ノ口 順一  山形大学, 理学部, 准教授 (40309886)
中屋敷 厚  津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
増田 哲  青山学院大学, 理工学部, 准教授 (00335457)
太田 泰広  神戸大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (10213745)
Keywords離散可積分系 / 離散微分幾何 / 離散曲線 / 離散曲面 / 離散正則函数 / ソリトン / パンルヴェ系 / τ函数
Research Abstract

主な研究実績は以下の通り.
(1)ユークリッド平面上の離散曲線の等周変形を考察し,discrete mKdV方程式で記述される離散的運動,およびsemi-discrete mKdV方程式で記述される連続的運動,およびそれらのBacklund変換を定式化した.また,τ函数を用いて連続曲線の連続的運動も包摂する曲線の明示公式を構成した.さらに,連続極限を議論し,離散曲線の離散的運動→離散曲線の連続的運動→連続曲線の連続的運動という極限移行が運動・変換・解の全てのレベルできちんと成り立つことを示した.
(2)(1)の副産物として,Wadati-Konno-Ichikawa(WKI)方程式やDym方程式,Short pulse方程式などループソリトンを許容し,ホドグラフ変換で他のソリトン方程式と結びついているクラスの方程式を考察し,ホドグラフ変換の幾何学的意味(曲線のEuler-Lagrange変換)を明らかにした.それを利用し,ホドグラフ変換およびそれらの方程式の(半)離散化を定式化した.それらは可変ステップサイズ制御を組み込んだ形の離散化になっており,特に光ファイバ中の極超短波長のパルスの伝播を記述するshort pulse方程式は工学的な応用も期待される.
(3)Bobenkoらが提出した離散冪函数に対して,パンルヴェVI型方程式の超幾何τ函数を用いた明示公式を構成した.その公式に基づき指数や定義域の拡張を行い,特に指数の実部が1に等しい場合ははめ込みになっており,すなわちcircle patternが対応することを厳密に証明した.
(4)ユークリッド空間において,等周条件の下での連続曲線および離散曲線の連続的運動の定式化に成功した.
(5)クライン幾何の一つである相似幾何において,Burgers方程式で記述される曲線の運動に対してτ函数による明示公式を構成し,それを元に離散化を定式化した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

交付申請書に記したうち,「離散ソリトン系や離散曲線の周期解の構成」については着手が遅れているが,空間離散曲線に関して新たな進歩をしたり,予期していなかったクライン幾何における離散曲線の理論に関して新しい結果を得るなど,全体としてはおおむね順調に進展していると考えている.

Strategy for Future Research Activity

現状の進め方で問題はないと考えており,今の研究組織で着実に考察を進めて行く.特に,空間離散曲線の理論に大きな進展が見られる気配があり,それができれば自動的に離散曲面の理論が定式化できる.そこで,来年度は空間離散曲線の理論の定式化と明示公式の構成を集中的に進めて行きたい.また,離散正則函数の理論についてもパンルヴェ系の理論に基づいた拡張に挑戦する.

  • Research Products

    (33 results)

All 2012 2011

All Journal Article (12 results) (of which Peer Reviewed: 12 results) Presentation (20 results) Book (1 results)

  • [Journal Article] Explicit solutions to the semi-discrete modified KdV equation and motion of discrete plane curves2012

    • Author(s)
      Jun-ichi Inoguchi, et al
    • Journal Title

      Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical

      Volume: 45 Pages: 045206

    • DOI

      doi:10.1088/1751-8113/45/4/045206

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Motion and Backlund transformations of plane discrete curves2012

    • Author(s)
      Jun-ichi Inoguchi, et al
    • Journal Title

      Kyushu Journal of Mathematics

      Volume: (In press)

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Discrete KdV and discrete modified KdV equations arising from motions of planar discrete curves2012

    • Author(s)
      Nozomu Matsuura
    • Journal Title

      International Mathematical Research Notices

      Volume: (In press)

    • DOI

      doi:10.1093/imrn/rnr080

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] 曲線の差分幾何2012

    • Author(s)
      松浦望
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録別冊

      Volume: (印刷中)

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] 曲面の差分幾何2012

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録別冊

      Volume: (印刷中)

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Curvatures and symmetries of tangent sphere bundles2012

    • Author(s)
      J.T.Cho, J.Inoguchi
    • Journal Title

      Houston Journal of Mathematics

      Volume: 37 Pages: 1125-1142

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Minimal translation surfaces in the Heisenberg group Nil_32012

    • Author(s)
      J.Inoguchi, et al
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: (In Press)

    • DOI

      DOI:10.1007/s10711-012-9702-8

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Bilinearization and special solutions to the discrete Schwarzian KdV equation2011

    • Author(s)
      M.Hay, et al
    • Journal Title

      Journal of Math-for-Industry

      Volume: 3 Pages: 53-62

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Discrete integrable systems and hodograph transformations arising from motions of discrete plane curves2011

    • Author(s)
      B.F.Feng, et al
    • Journal Title

      Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical

      Volume: 44 Pages: 395201

    • DOI

      doi:10.1088/1751-8113/44/39/395201

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] General N-dark-dark solitons in the coupled nonlinear Schrodinger equations2011

    • Author(s)
      Y.Ohta, et al
    • Journal Title

      Studies in Applied Mathematics

      Volume: 127 Pages: 345-371

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Parabolic Geodesies in Sasakian 3-Manifolds2011

    • Author(s)
      J.T.Cho, J.Inoguchi, J.Lee
    • Journal Title

      Canadian Mathematical Bulletin

      Volume: 54 Pages: 396-410

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Grassmann geometry on the 3-dimensional unimodular Lie groups II2011

    • Author(s)
      J.Inoguchi, H.Naitoh
    • Journal Title

      Hokkaido Journal of Mathematics

      Volume: 40 Pages: 411-429

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 離散空間曲線の等周変形とsemi-discrete modified KdV方程式2012

    • Author(s)
      井ノ口順一, 他
    • Organizer
      日本数学会2012年度年会
    • Place of Presentation
      東京理科大学(東京)
    • Year and Date
      2012-03-28
  • [Presentation] Discretization of planar curve motions and discrete modified KdV equations2012

    • Author(s)
      Kenji Kajiwara
    • Organizer
      American Mathematical Society 2012 Spring Southeastern Section Meeting
    • Place of Presentation
      南フロリダ大学,アメリカ
    • Year and Date
      2012-03-11
  • [Presentation] 相似幾何における平面離散曲線の運動2012

    • Author(s)
      黒田利信, 梶原健司
    • Organizer
      日本応用数理学会2012年研究部会連合発表会
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡)
    • Year and Date
      2012-03-09
  • [Presentation] Hirota-Satsumaの非線形ネットワーク方程式の双線形構造と解2012

    • Author(s)
      野見山直之, 梶原健司
    • Organizer
      日本応用数理学会2012年研究部会連合発表会
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡)
    • Year and Date
      2012-03-09
  • [Presentation] 可積分系の厳密解とGram行列式2012

    • Author(s)
      太田泰広
    • Organizer
      離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル2012
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-23
  • [Presentation] Construction of quasi-periodic solutions of soliton equations2012

    • Author(s)
      中屋敷厚
    • Organizer
      離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル2012
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-23
  • [Presentation] 曲線の離散微分幾何2012

    • Author(s)
      松浦望
    • Organizer
      離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル2012
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-23
  • [Presentation] 可積分系入門2012

    • Author(s)
      梶原健司
    • Organizer
      離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル2012
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-02-22
  • [Presentation] Discretization of soliton equations derived through hodograph transformation2012

    • Author(s)
      Yasuhiro Ohta
    • Organizer
      2012 Tokyo Workshop on Structure-Preserving Methods
    • Place of Presentation
      東京大学(東京)
    • Year and Date
      2012-01-16
  • [Presentation] Abel-Jacobi map and Schur functions2011

    • Author(s)
      Atsushi Nakayashiki
    • Organizer
      Symmetries, Integrable Systems and Representations
    • Place of Presentation
      リヨン大学(フランス)
    • Year and Date
      2011-12-13
  • [Presentation] Discretization of planar curve motions and discrete integrable systems2011

    • Author(s)
      梶原健司
    • Organizer
      Winter School for Young Researchers on Mathematical Aspects of Image Processing and Computer Vision
    • Place of Presentation
      東北大学(宮城)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-11-25
  • [Presentation] 二項係数とSierpinski三角形2011

    • Author(s)
      岩尾慎介, 増田哲
    • Organizer
      非線形波動研究の進展-現象と数理の相互作用-
    • Place of Presentation
      九州大学応用力学研究所(福岡)
    • Year and Date
      2011-10-27
  • [Presentation] 離散平面曲線の時間発展に現れる離散可積分系と離散ホト・ク・ラフ変換2011

    • Author(s)
      梶原健司
    • Organizer
      日本応用数理学会2011年度年会
    • Place of Presentation
      同志社大学(京都)
    • Year and Date
      2011-09-14
  • [Presentation] 差分ソリトン方程式の話題2011

    • Author(s)
      太田泰広
    • Organizer
      可積分系数理の進化
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-08-18
  • [Presentation] 曲線の差分幾何2011

    • Author(s)
      松浦望
    • Organizer
      可積分系数理の進化
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-08-17
  • [Presentation] 曲面の差分幾何2011

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Organizer
      可積分系数理の進化
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-08-17
  • [Presentation] D型高階q-Painleve系について2011

    • Author(s)
      増田哲
    • Organizer
      函数方程式論サマーセミナー
    • Place of Presentation
      休暇村支笏湖(北海道)
    • Year and Date
      2011-08-05
  • [Presentation] An explicit formula for the discrete power function associated with circle patterns of Schramm type2011

    • Author(s)
      増田哲
    • Organizer
      Infinite Analysis 11 -Frontier of Integrability-
    • Place of Presentation
      東京大学(東京)
    • Year and Date
      2011-07-27
  • [Presentation] An explicit formula for the discrete power function associated with circle patterns of Schramm type2011

    • Author(s)
      Kenji Kajiwara
    • Organizer
      Discrete Integrable Systems
    • Place of Presentation
      ローレンツセンター,オランダ(招待講演)
    • Year and Date
      2011-07-20
  • [Presentation] Motion and Backlund transformations of discrete plane curves2011

    • Author(s)
      Kenji Kajiwara
    • Organizer
      Tropical Geometry and Integrable Systems
    • Place of Presentation
      グラスゴー大学,連合王国
    • Year and Date
      2011-07-06
  • [Book] 離散可積分系・離散微分幾何チュートリアル20122012

    • Author(s)
      井ノ口順一, 他(編)
    • Total Pages
      162
    • Publisher
      九州大学

URL: 

Published: 2013-06-26  

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