2012 Fiscal Year Annual Research Report
質量・エネルギーの集中現象を伴う臨界型変分問題の大域・漸近解析
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23340038
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
高橋 太 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10374901)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐藤 洋平 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 研究員 (00465387)
加藤 信 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10243354)
石渡 通徳 福島大学, 共生システム理工学類, 准教授 (30350458)
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 准教授 (60549749)
西尾 昌治 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90228156)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 臨界型変分問題 / 多重バブル解 / 爆発解析 / 非コンパクト解 / 質量量子化 |
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| Research Abstract |
本研究課題の研究目的は、「臨界型」と呼ばれる変分構造を持つ楕円型方程式（系）の非コンパクトな解の族のうち、その定義領域及び境界上の複数点で爆発・集中現象を起こす「多重バブル解」の解空間構造と定義領域の位相幾何・微分幾何学的性質との関係や、多重バブル解の漸近的・定性的性質について、無限次元臨界点理論・爆発解析・ポテンシャル論・大域変分法などの現代解析学の技術を尽くして、多角的側面から解明することにある。具体的には、
（１）多重バブル解の解空間構造と領域の幾何の相関の解明
（２）多重バブル解のスペクトル解析的性質の研究
（３）爆発が誘導する多重バブル解の定性的性質
（４）多重バブル解の爆発点集合の位置決めに関する未解決問題の解決
の4項目を掲げて研究を遂行中である。本年度において研究代表者高橋は主に研究課題（２）、（４）に注力し、（２）においては、係数関数や特異外力項付きの一般化リウビル方程式の多点爆発解に対して爆発解析を行い、常に爆発点の個数は解のモース指数で上から押さえられるという簡明な事実を見出した。また（４）においては、2次元べき型非線形項をノイマン境界条件として持つ楕円型方程式の最小エネルギー解の漸近挙動についての研究を行い、非線形指数が無限大に漸近する際の最小エネルギー解の挙動についての結果を得た。最小エネルギー解は1点爆発解であり、付随する線形問題のグリーン関数から定まるロバン関数の境界上での臨界点になることを証明し、この非線形ノイマン境界条件での問題に対しても、先行研究である Ren-Wei の結果の類似物が成り立つことを確立した。また、ディリクレ境界条件付き2次元べき型方程式の多点爆発解に対して、Nagasaki-Suzuki と同様の特異極限の分類定理が成り立つことを証明した（論文準備中）。この結果は24年秋の集中講義（於東京工業大学）によって講義された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多重爆発解のスペクトル解析的性質の研究については、主にリウビル方程式の場合にその爆発点の個数と解自身のモース指数との簡明な関係が得られ、3編の論文としてまとめられた。最近、Gladiali-Grossi-Ohtsuka-Suzuki は、リウビル方程式に限ってであるが、解のモース指数と爆発点の位置決めの際に重要な役割を果たす、「ハミルトニアン」関数のモース指数との間の関係を見出し、その概要が研究セミナーで講演されている。本年度の研究成果の一つとして、2次元べき型方程式の場合にも、爆発点の位置決めは全く同一のハミルトニアンが関与することが研究代表者によって確認されている。よって上記先行研究に対応する結果は2次元べき型方程式の場合にもある程度まで成立すると思われるが、現在まで研究着手には至っていない。今後の研究課題としたい。
本年度、研究代表者高橋は、海外講演2回を含む計10回の招待講演を行っており、成果発表活動は充分であると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
ディリクレ境界条件付き2次元べき型非線形項方程式の非線形指数を無限大にした時の多重爆発解の漸近的性質と、YanYan Li 評価式と呼ばれる、全域解を用いた爆発解の各点評価式が既に本年度の研究によって得られている。この結果を用いて、まずは1点爆発解の回りでの線形化作用素のスペクトルの漸近解析および多点爆発解の漸近的非退化性に取り組むのが自然な研究の流れになろう。これらの研究計画に対して助言を得るために、本年度も M. Grossi 教授をローマ大学に訪問する。また、YanYan Li 教授と北京師範大学において討議を行う。そのほか、研究代表者高橋は Equadiff 2013, PRMS Sapporo 等の大型国際研究集会で研究講演を行い、参加者の批判・助言を仰ぐ。
高橋が主催する「南大阪応用数学セミナー」（大阪市大・大阪府大共催）に関連する海外研究者を招聘し、直接の討議も行う予定である。
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