2012 Fiscal Year Annual Research Report
数理物理学における量子トポロジーとモジュラー形式の総合的研究
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23340115
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
樋上 和弘 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60262151)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江口 徹 立教大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20151970)
村上 斉 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (70192771)
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 数理物理 / モジュラー形式 / トポロジー / 量子不変量 / 結び目 / ムーンシャイン |
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| Research Abstract |
1. 超対称共形場理論（SCFT）を用いて楕円種数が構成されることはウィッテンによって明らかにされている。SCFTの指標にはBPS状態と非BPS状態の２種類があることが知られている。代表者と第1分担者は、前年度に引き続き、複素多様体の楕円種数における非BPS状態数についての解析を行った。もともとはK3曲面の場合についてムーンシャイン現象と呼ばれるマチウ群M24との関連が指摘されていたが、最近、他の多様体についても別のマチウ群M12との関連があることが示された。これらのムーンシャイン現象においては、超対称性としてN=4 SCFTが用いられていたが、N=2 SCFTを用いても有限群との関係が見え新しい現象が起こることを指摘した。
2. 代表者と第1分担者はK3曲面の楕円種数とマチウ群M24との関連を示すムーンシャイン現象についてより詳細な解析を行った。その結果、楕円種数がイータ関数を用いて表されることを明らかにした。これは、ジーゲルモジュラー形式のボーチャーズ積表示に起因することを示した。
3. 量子不変量の漸近的な振る舞いは体積などの幾何学的構造と関連していると予想されている。第2分担者は八の字結び目の色つきジョーンズ多項式の漸近挙動を詳細に解析し、チャーン・サイモンズ不変量・ライデマイスター捻れが得られることを明らかにした。
4. 量子不変量の漸近挙動と体積などを結びつけるためには、具体的な体積の公式を得ておく必要がある。第3分担者は球面幾何における任意の四面体の体積を与える公式を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ジョーンズやウィッテンらによって1980年代に構成された結び目・3次元多様体の量子不変量は、最近の超弦理論など数理物理の研究において重要である。量子不変量とモジュラー形式との関連が指摘される一方で、モジュラー形式そのものも数理物理において主要な役割を演じている。本研究課題では、量子トポロジー、モジュラー形式の総合研究を目指している。研究実績で述べたような新しい結果が得られ、国際誌に掲載されており、研究は順調に進捗している。
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| Strategy for Future Research Activity |
量子不変量を専門とする分担研究者、モジュラー形式を専門とする連携研究者たちとの連絡をより密にとって、さまざまな最新の知見を得、研究を遂行する。また、数値計算を行ってデータを収集し、研究の新しい方向性を探る。また、得られた新しい結果を研究集会において発表し、国内外に発信していく。
具体的な研究計画としては以下のようなものがあげられる。
1. N=2 SCFTを用いることで新しいムーンシャイン現象を見いだしたが、同様な方法をより高次元多様体に適用することで新しい現象が起こっていないかを探る。また、エンリケス曲面などこれまで適用されていなかったものについても研究を行う。
2. さまざまな量子不変量について、モジュラー形式との関係を探る。特に、いままで研究されていないSU(n)量子不変量についての解析を行う。
3. さまざまな結び目に対して量子不変量を圏化した不変量の構成を試みる。また、そのうちトーラス結び目に対するものについては、モジュラー形式との関係を探る。
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