2013 Fiscal Year Annual Research Report
数理物理学における量子トポロジーとモジュラー形式の総合的研究
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23340115
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
樋上 和弘 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60262151)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江口 徹 立教大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20151970)
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 数理物理 / トポロジー / モジュラー形式 |
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| Research Abstract |
１．N=4超対称性共形場理論(SCFT)の指標公式は擬テータ函数を用いて表される。一方、K3多様体の楕円種数はヤコビ形式で記述されるが、楕円種数に含まれるSCFTの非BPS状態数はある種の擬テータ函数のフーリエ係数と一致する。このフーリエ係数が、マシュー群M24の規約表現の次数と奇妙な関係を持つことが指摘され（ムーンシャイン）、非常に注目を集めている。K3曲面の自己同型群とM24との関係はよく知られた事実であることから、ムーンシャインに対する幾何的な研究も行っているが、本年度の実績としては、他の複素多様体についても同様の現象が存在することを示した点があげられる。一例として、エンリケス曲面の楕円種数を解析し、その結果、マシュー群M12の規約表現次数との関係が同様に見られることを明らかにした。また、ムーンシャイン現象についての数学・物理両面からの情報交換の場として、研究集会を１月末に立教大学にて開催した。多くの出席者による活発な議論がもたれた。
２．八の字結び目の色つきジョーンズ多項式の漸近的振る舞いを詳細に解析し、チャーン・サイモンズ不変量やライデマイスター・トーションといった、結び目補空間の基本群と関連する不変量が得られることを示した。
３．一般の結び目に対し、色つきジョーンズ多項式の厳密な振る舞いを調べることは大変困難であるが、多項式に現れるある函数を二重対数函数で置き換えることによって、双曲幾何学的に興味深い函数が得られる場合がある。ある仮定の下でこの置き換えの有効性を議論した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子トポロジーおよびモジュラー形式の数理物理的な研究を目標とする本研究の支援のもと、研究会を開催し、研究代表者・分担者のみならず数学・物理両分野の研究者交流をすすめた。また、研究代表者・分担者による新しい成果も数多く得られ、国際研究集会における発表、論文出版が順調に行われている。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度にあたり、研究総括を行うために研究集会を開催する。
１．K3曲面の場合にあらわれたムーンシャイン現象の拡張として、リーチ格子の対称性と密接な関連があると指摘されているムーンシャイン現象が提唱されている。ここではN=4 SCFTの指標公式を用いて楕円種数が展開されているが、N=2 SCFTの指標公式を用いても別のムーンシャイン現象が起きることが次元の低い場合については代表者らが確認している。次元の高い場合についても詳細に調べ、リーチ格子との関連についても探る。
２．色つきジョーンズ多項式は量子群を用いて記述される。トーラス結び目の場合にこの構成方法を用いて不変量の新しい表示を探る。無限和に自然に拡張でき、さらに変形パラメータが１の冪根の場合に有限和になるような「量子モジュラー形式」を新たに構成する。
３．トーラス結び目をケーブル化した結び目について色つきジョーンズ多項式を具体的に構成する。その漸近的振る舞いを解析し、チャーン・サイモンズ不変量やライデマイスター・トーションなど基本群から得られる不変量との関係を調べる。また量子モジュラー形式への応用を探る。
４．双曲幾何との関連が注目され、またモジュラー形式とも関連しているのは色つきジョーンズ多項式の特殊値であるが、対数的共形場理論を用いてこの不変量を拡張することを試みる。また、クラスター代数との関連についても探る。
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