2011 Fiscal Year Research-status Report
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23540003
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
黒木 玄 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (10234593)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | 量子群 / カッツ・ムーディ代数 / パンルヴェ方程式 / ワイル群双有理作用 / τ函数 |
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| Research Abstract |
平成23年度にワイル群双有理作用に付随するτ函数の量子化に成功した。その結果を平成24年3月に日本数学会の一般講演で発表した。古典パンルヴェ系の理論ではτ函数は中心的な役割を果たしているが、τ函数の量子化には誰も成功していなかった。そもそもτ函数のポアソン構造についてさえ誰も真剣に考えていなかった。筆者は「パンルヴェ系の量子τ変数をパラメーター変数の正準共役変数のexponentialと定義すれば古典の場合に成立していたワイル群対称性に関する主要な結果が量子の場合にも再現される」ことを発見した。量子τ函数は古典の場合と同様に量子τ変数へのワイル群を作用させた結果として定義される。古典τ函数はパンルヴェ系の従属変数について多項式になるという正則性を満たしており、そこからパンルヴェ系の多項式τ函数解(岡本多項式など)の存在も導かれる。量子τ函数も同様の正則性を満たしていると予想される。筆者は対称化可能一般カルタン行列(GCM)に付随する(q差分版ではない)量子τ函数の正則性が対応するカッツ・ムーディー代数の表現論における translation functor のある公式 (ヴァーマ表現がヴァーマ表現に移されるというタイプの公式)に帰着されることを発見した。これはτ函数の理論と表現論における translation functor の理論を結び付けるかなり意外な発見である。量子τ函数の正則性から古典τ函数の正則性が古典極限を取る手続きによって得られる。この証明の方針は古典τ函数の正則性の証明としても真に新しい。さらに筆者はGCMがA型の場合には量子τ函数へのワイル群作用のラックス・佐藤・ウイルソン表示も構成している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
この研究の大きな目標は量子パンルヴェ系および量子モノドロミー保存系の理論を発展させることである。古典の場合にはτ函数の概念が極めて重要であった。しかし研究計画を立てたときにはτ函数をどのように量子化したらよいのか方針さえ立たない状態だった。τ函数を量子化できないと古典の場合の研究の量子版を十分に展開できない。そのことが原因で研究計画もτ函数を避けた不自然なものになってしまっていた。しかし平成23年度にはτ函数の量子化の成功という予想外の成果が得られた。その成果によって量子τ函数を含めたより自然な形に研究計画を変更可能になった。このような予想外の成果が得られたのだから、「当初の計画以上に進展している」と判断して問題ないと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
τ函数の量子化という予想外の成果が得られたので、それに合わせて研究の方針を変えなければいけない。まず当面のあいだは量子τ函数の理論の基礎付けをしっかり行なう予定である。特にq差分版の量子τ函数の正則性に関しては量子展開環の表現論が必要になり、難しい部分が残っている。今までτ函数の量子化の方針が立たなかったので、量子化の立場から無視せざるを得なかった古典τ函数に関する多くの結果が存在する。それらを精査するという根気のいる作業も必要になるだろう。さらにまだ量子τ函数の正体がわかっていない量子系がたくさん存在する。たとえば互いに素な2以上の整数m,nに対するm×n行列の空間へのA型アフィン・ワイル群の直積の双有理作用の量子化の場合には量子τ函数は構成されていない。長谷川浩司氏が構成したq差分版のワイル群双有理作用の量子化(これは量子クラスター代数や量子dilogarithmと深く関係している)の場合にも量子τ函数は構成されていない。さらに共形場理論はモノドロミー保存変形の理論の量子化とみなせるのだが、その場合にも量子τ函数は構成されていない。すでに構成されている多くの量子パンルヴェ系および量子モノドロミー保存系について量子τ函数の視点を導入することは重要だと思われる。このような方針で今後は研究を進めて行きたい。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度使用額は、今年度の研究を効率的に推進したことに伴い発生した未使用額であり、平成24年度請求額とあわせ、次年度に計画している研究の遂行に使用する予定である。
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