2012 Fiscal Year Research-status Report
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23540012
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (80227842)
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| Keywords | 団代数 / Y-system / ダイログ関数 |
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| Research Abstract |
今年度も引き続き、研究計画に基づき、団代数の基礎と応用の研究を行った。特に、２０１２年８月から１２月の４ヶ月間、バークレーの数理科学研究所（MSRI）のプログラム"cluster algebras"に参加し、団代数の専門家と多くの有益な議論を行い、また研究集会およびセミナーで研究発表を行った。
以下の３つが得られた主な結果である.
1. CherednikとFeiginによってnilpotent double affine Hecke 代数から導かれたダイログ恒等式予想の証明を与えた。
2. Salvatore Stella氏との共同研究により、有限型団代数の箙の変異同値類、cベクトル、dベクトルのDynkin図による明示的表示を与え、それによって完全に分類決定を与えた。手法としては、A型とD型については、団代数の多角形実現を有効に利用し、また、B型とC型についてはcベクトルおよびdベクトルの折りたたみの手法を開発し適用した。
3. Salvatore Stella氏との共同研究により、sine-Gordon Y-system に対する周期性とダイログ恒等式に関するTateoの予想を、団代数の手法を用いて証明するとともに、多角形の三角分割や連分数展開との興味深い関係を明らかにした。
それぞれの結果について、査読付き論文（結果１）およびarXivプレプリント（結果２、３）による結果の公表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず、団代数の基礎の研究として、有限型団代数のcベクトルのDynkin図による明示的表示と分類決定を行ったことは、大きな意義があると考える。一般に、反対称団代数のcベクトルは初期箙から定まるルート系のルートになることがNajera Chavezらの最近の研究により知られている。しかし、それが具体的にどのようなルートになるかは未知である。有限型団代数によるわれわれの分類定理は、今後、これらのルートをより一般的に特徴付けるための有用なデータとなると考えられる。
また、団代数の応用の研究として、証明することは長年困難に見えたsine-Gordon Y-systemに関するTateoの予想を、多角形の三角分割と関連づけるというアイデアによりsine-Gordon Y-systemの本質を明らかにしつつ証明した点に意義があると考える。これはまた、E型のY-systemの連分数による一般化は存在するのか、という新たな問題も提起する。また、sine-Gordon Y-systemはアフィンA_1型の戸田場理論から得られるという観点からも、さらなる（膨大な）sine-Gordon Y-systemおよび団代数の周期の一般化の存在も示唆する。
以上のように、今年度の結果は団代数の基礎と応用に対してすでに一定の成果を与えただけではなく、今後の新しい研究課題も提起をしている。この意味において、研究は順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、研究計画に基づき団代数の基礎と応用の研究を行う。
具体的なは、FominとZelevinskyによる有限型団代数の分類定理に対してトロピカル化の方法による別証明を与えることを目標とする。また、今年度得たsine-Gordon型Y-systemの一般化についても研究をすすめる。
そのための方策として、昨年度と同様に、国内外の研究会に参加し、団代数に関連する研究者と研究交流を積極的に進めながら研究をする。具体的には、４月のNortheastern大、および１２月のOberwolfachのの研究集会に参加を予定している。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
国内外の研究打ち合わせ、および研究集会参加のための旅費と団代数に関する書籍購入を主な用途とし、必要に応じて携帯用パソコンの更新を行う。
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Research Products
(5 results)
