2011 Fiscal Year Research-status Report
不定方程式及び生成多項式を用いた代数体のイデアル類群の研究
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23540019
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| Research Institution | Aichi University of Education |
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Principal Investigator |
岸 康弘 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (60380375)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | イデアル類群 / 類数 / 不定方程式 |
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| Research Abstract |
pを4を法として3と合同な素数とする。p-1次の虚巡回体上にp次巡回拡大を与えるような整数係数のp-1次多項式の分析、及び、ある実2次体の単数とそれに付随する不定方程式の整数解の個数の考察により、イデアル類群のp-rankが2以上となるようなp-1次の虚巡回体の無限族を明示的な形で与えた。この結果は、研究代表者が徳島大学の片山真一氏との共同研究として、4を法として1と合同な素数に対して与えた同様の結果（2007年公刊）の類似となっている。今回得られた結果は、間もなく公刊予定である。実2次体の類数問題の1つである「ガウスの類数1問題」に関連して、ある2次無理数の連分数展開に付随する極小型自然数という概念が、学習院大学の河本史紀氏、名城大学の冨田耕史氏によって近年導入されている。研究代表者は類数及び単数の問題を扱うためこの問題に取り組み、福岡教育大学の田尻彩華氏、吉塚健一郎氏との共同研究により、連分数展開の極小型にまつわる様々な性質を明らかにした。そして、任意の自然数nに対して周期nの極小型自然数が無数に存在することの証明に成功した。この結果については、いくつかの研究集会で口頭発表を行い、「ある2次無理数の連分数展開について」と題して報告集に発表済みである。また、同内容の査読付き論文が間もなく公刊される。なお、この結果は本研究の目標である代数体の類数の可除性に関する結果ではないが、今後の研究において参考になると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
鏡映関係の考察は計画以上に進展が見られているが、いくつかの不定方程式に対して解くことができず、発表ができないでいる結果がある。不定方程式の問題が当初想定した以上に難しい問題となっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
「現在までの達成度」で述べた通り、不定方程式の研究が滞っているため、今年度は特に不定方程式の研究に重点を置きたいと考える。このことに関して、昨年度に引き続き、ハリスチャンドラ研究所のK. Chakraborty氏や名古屋大学の伊東杏希子氏との連携を図る予定である。また、情報収集のため研究集会「第7回福岡数論研究集会」を九州大学の金子昌信氏、権寧魯氏と共同で開催する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
情報収集のため、京都大学で行われる学会への参加、九州大学、早稲田大学で行われる研究集会への参加を予定している。さらに、可能であれば昨年度と同様、インドのハリスチャンドラ研究所でK. Chakraborty氏との研究打合せを行う。また、研究成果が得られれば、国内外の主要な研究集会で随時発表する。消耗品費により数論の専門書及び計算機ソフト(Maple14) を購入する予定である。
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