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2011 Fiscal Year Research-status Report

整凸体のミンコフスキー和とトーリック多様体の研究

Research Project

Project/Area Number 23540038
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

尾形 庄悦  東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90177113)

Project Period (FY) 2011-04-28 – 2014-03-31
Keywordsトーリック多様体 / ミンコフスキー和
Research Abstract

本研究の目的は、非特異トーリック多様体上のアンプル直線束がすべて射影正規であろうという予想の3次元と4次元の場合の解決である。 平成23年度には、3次元のアンプル直線束の随伴束が大域切断を持たないか、持つとしてもbigでない場合の研究代表者の肯定的解決が論文として出版された。また、多様体の非特異性をはずすとベリーアンプルだが射影正規でないものが3次元以上では、常に存在することを例を多数構成することで示した。これまでは、3次元に1例と5次元に1例のみの存在が知られていた。この結果を電子ジャーナルに投稿し、さらに、ストックホルムでの研究集会で発表した。これらの例は、区間とn単体のミンコフスキー和の形をしている。3次元の場合には、これが非特異なら正規であることを証明した。これについて、国内とオーストラリアでの研究集会で発表した。研究計画の23年度分は、ほぼ達成されたと思える。 射影正規性が証明された後には、その埋め込みによる定義イデアルの研究へと繋がる。非特異トーリック多様体が射影正規に埋め込まれるとき、定義イデアルが2次生成であろうというスツルムフェルスの予想が正しいかどうか検証する具体例が多く得られたことになる。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

区間と多面体とのミンコフスキー和が3次元非特異であるものの正規性については、簡単な多面体の正規性は簡単に示せる。しかし、一般の場合に適用する方法について、組み合わせ論の研究集会参加中に突然アイデアが閃いて巧くいった。代数幾何や組み合わせの研究集会に参加し、様々な研究者と討論することが良い刺激となって、研究が進展した。

Strategy for Future Research Activity

まず、3次元多面体の内部多面体を詳しく研究することにより、アンプル直線束の随伴束がbigでないものの上の他のアンプル直線束の射影正規性について研究する。さらに、内部多面体が大きいときに、ファノ多面体と区間のミンコフスキー和の正規性を研究する。これで、弱ファノ多様体上のアンプル直線束の射影正規性が示せると期待できる。

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

上記の方針に従い、次年度分として計画している研究の遂行に使用する予定である。

  • Research Products

    (5 results)

All 2013 2012 2011

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (3 results)

  • [Journal Article] Very ample but not normal lattice polytopes2013

    • Author(s)
      尾形 庄悦
    • Journal Title

      Beitraege zur Algebra und Geometrie

      Volume: 54 Pages: 291~302

    • DOI

      10.1007/s13366-011-0077-z

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Projective normality of toric 3-folds with non-big adjoint hyperplane sections2012

    • Author(s)
      尾形 庄悦
    • Journal Title

      東北数学雑誌

      Volume: 64 Pages: 125--140

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Projective normality of toric varieties2012

    • Author(s)
      尾形 庄悦
    • Organizer
      代数幾何講演会(招待講演)
    • Place of Presentation
      埼玉
    • Year and Date
      2012年2月14日
  • [Presentation] Very ample but not normal lattice polytopes2011

    • Author(s)
      尾形 庄悦
    • Organizer
      MEGA2011:Effective Methods in Algebraic Geometry
    • Place of Presentation
      Stockholm, Sweden
    • Year and Date
      2011年5月31日
  • [Presentation] Normality of lattice polytopes2011

    • Author(s)
      尾形 庄悦
    • Organizer
      35ACCMCC:Australian Conference on Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing
    • Place of Presentation
      Melbourne, Australia
    • Year and Date
      2011年12月9日

URL: 

Published: 2013-07-10  

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