2012 Fiscal Year Research-status Report
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23540038
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
尾形 庄悦 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90177113)
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| Keywords | 代数幾何学 |
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| Research Abstract |
昨年度から、偏極トーリック多様体に対応する整凸多面体が整区間とのミンコフスキー和である場合を中心に扱ってきたが、今年度、４次元以上での証明中に誤りが見つかって、大阪大学の東谷氏と仙台や京都で何度か研究打合わせを行い、誤りを訂正できた。この結果、５以上のnに対し、n次元のアンプルな整凸多面体で、２倍がベリーアンプルだがn-2倍しても正規にならない例を多数構成できた。以上により、３次元以上の各次元には、ベリーアンプルだが正規でない整凸多面体が多数存在することが解り、私と東谷氏の例は、高次元での整凸多面体の複雑さを表すものである。１０年前までは混同されていたベリーアンプルと正規性の違いが頻繁に起こりうるという、予想されていなかった結果が得られた。
また、整区間とのミンコフスキー和である３次元の非特異整凸多面体の正規性を証明したことにより、他の非特異３次元整凸多面体の正規性の証明法に適用できることが解った。この結果を代数幾何の用語で表すと、非特異３次元トーリック多様体が射影直線への定数でない正則写像をもつ場合と、あるアンプル直線束でその随伴束が巨大（big）でない場合に、このトーリック多様体上のすべてのアンプル直線束が単生成であることを証明したことになる。特に、３次元トーリック・ファノ多様体上のすべてのアンプル直線束が単生成であることが解った。
これらのアイデアは、日本国内や海外での研究集会に参加して、研究者と直接意見交換をしたことにより、生まれたと思われる。研究費を旅費として使えたことが、成果を得るために大きな要素であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の前段階では、一般の非特異トーリック多様体を扱ってきたが、この研究では、トーリック多様体が射影直線への定数でない正則写像をもつ場合や、随伴束が巨大ではないアンプル直線束をもつ場合など、多様体の種類を限定することで、問題解決の手法が新たに開発できたことが、順調に進展している理由と考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題名にあるミンコフスキー和をキーワードに、整凸多面体の正規性の証明に使える手法を改良・発展させるアイデアを見つける。
特に、ゴレンスタイン３次元ファノ多面体と区間のミンコフスキー和が正規になる条件をみつけて、トーリック弱ファノ多様体上のアンプル直線束の単生成を調べる。ゴレンスタイン３次元ファノ多面体は、分類によると４千３百個以上あるが、もっと緩い１０個ほどの分類で解決できるようなコンピュータに依らない分類法をみつける。
これらの研究に役立つアイデアを得るために、日本国内や海外で開催される代数幾何学の様々な勉強会や研究集会、さらに、組み合わせ論の研究集会に参加し、研究成果を発表し、かつ参加者と意見交換をする。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
「該当なし」
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