多項式環における単項式イデアルの特性

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 23540060
• Research Institution: Meiji University
• Principal Investigator: 中村 幸男 明治大学, 理工学部, 教授 (00308066)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2017-03-31
• Keywords: 単項式イデアル / Stanley-Reisner イデアル / 辺イデアル / グラフ / Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ性 / Ａｒｔｉｎ次数環 / 完全交叉 / 随伴次数環

Outline of Annual Research Achievements

グラフから定まる辺イデアルの性質を離散数学的な特性で解明することを目標としている。
辺イデアルは単体的複体から定まるStanley-Reisnerイデアルの特殊なものではあるが、グラフというより視覚的な対象を扱うことで、一般の単体的複体上ではとらえにくい組み合わせ代数の理論をより視覚的な判定法で展開することができるところにこの研究の意義がある。
特に、ｎ個に分割された頂点集合から定まる「ｎ部グラフ」の調査は基本的であり、２部グラフや完全ｎ部グラフについては多くの性質が古くから解明されていた。しかしながら、その一般化については、多くの困難があるテーマである。昨年度は「ほとんど完全なｎ部グラフ」という概念を創設しその特性を研究し始め、Cohen-Macaulay性、非混合性などの特徴づけを試み、いくつかの結果が得られた。
また、体上のArtin代数のLefschetz性を調査することも着手しており。特に、随伴次数環を経由することによって、完全交叉はを持つという予想のアプローチを試み、昨年度は基礎環と随伴次数環との間で強Lefschetz性がどう伝わるかについての研究を行った。Artinとは限らない代数の場合Cohen-Macaulayであれば、その代数のLefschetz性が自然に考えられる。辺イデアルのCohen-Macaulay性については、例えば２部グラフの場合にはその詳細が分かるので、そのLefschetz性についても離散数学的な特徴づけができるものと考え研究を進めている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

到達度遅れの一因としては、本務校の執行部の一員として、大学運営にかかわる教務・入試・広報に関する仕事を担当してるため、研究に費やす時間に影響を受けていることによる。

Strategy for Future Research Activity

２部グラフと完全ｎ部グラフについては多くの性質が古くから判明しており、最近「ほとんど完全なｎ部グラフ」について新しい結果が得られたのだが、この理論は一般３部グラフの解明に有用と考えている。
また、体上の（Artinとは限らない）代数のLefscetz性を離散数学的観点から調査する。特にStanley-Reisner環に対して強Lefschetz性が成立する条件を求める。

Causes of Carryover

本務校の運営の仕事のため予定していた出張ができなくなったことによる。

Expenditure Plan for Carryover Budget

海外の研究者招へい、あるいは共同研究者に旅費の援助をして研究集会での情報を得るなどの対応を行う。