2014 Fiscal Year Research-status Report
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23540062
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
佐藤 拓 福岡大学, 理学部, 准教授 (20433310)
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2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | トーリック多様体 / 端射的収縮写像 / ファノ多様体 / 2サイクル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、引き続き、非特異かつ射影的なトーリック多様体であり、その第二チャーン指標が正または非負であるようなものの構造の解明に取り組んだ。前年度までの研究により、非特異トーリック・ファノ多様体とは限らない、一般の非特異射影的なトーリック多様体について、本研究は適用出来る可能性があることを見た。主な結果として、以下のものがある。
１、第二チャーン指標が正または非負、という条件のもと、ある種の端射的収縮写像が存在するときに、ある程度の非特異射影的なトーリック多様体の分類を得た。ファノ収縮写像が存在するときについては、前年度までの結果である。因子的収縮写像が存在する場合については、その例外因子のイメージの次元が１以上の場合について、構造定理を得た。理論の肝は、例外因子内の特別なヒルツェブルフ曲面を見つけて、交点数を計算することによって、第二チャーン指標が負になってしまうことを示すのである。特に、反標準因子が豊富である場合、すなわち、非特異トーリック・２ファノ多様体の場合は、Bonavero の結果により、そのような非特異射影的なトーリック多様体は射影空間のみに限ることが分かった。小さい収縮写像のときも同様であり、つぶれる部分多様体のイメージが一点になる場合を除いては、ある種の構造定理を得た。
２、本研究を進める上で、非特異射影的なトーリック多様体上のサイクルの数値的な情報を記述することは重要であり、昨年度までの結果では、主に、２サイクルかつピカール数が２の場合についての結果を得ていたが、さらに、ブロー・アップでの変化状況や、高次のサイクルについてもある程度の結果を得た。上で述べた構造定理の精密化が期待出来ると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の大きな目的の一つである、非特異トーリック・２ファノ多様体の構造定理の完成に一歩近づいたと思われる。また、更なる精密化のための道具も幾つか得ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度得た、非特異トーリック・２ファノ多様体の構造定理を更に精密化することが現状最も力を入れているところであり、また、道具も揃って来ているので、実現可能性は高いと思われる。今までは、２サイクルとして、射影平面またはヒルツェブルフ曲面と同型な場合しか自由に扱えなかったが、本年度の結果により、もっと一般の２サイクルを調べることが出来ると思う。まずは、本年度と同じ方針、すなわち、端射的収縮写像を軸にトーリック多様体の構造を調べていきたいと思う。更には、もっと一般の写像を持つ場合についても、同様の議論が出来る可能性がある。
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| Causes of Carryover |
本年度は、理論的な研究が主であり、コンピューター等を本質的に使用する機会が少なかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度については、研究集会を行う予定である。また、理論的には一段落したところであるので、コンピューターの使用も考えている。
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