2013 Fiscal Year Annual Research Report
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23540067
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| Research Institution | Akita University |
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Principal Investigator |
三上 健太郎 秋田大学, 工学(系)研究科(研究院), 名誉教授 (70006592)
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| Keywords | シンプレクティック多様体 / 形式的ハミルトン・ベクトル場 / ゲルファント・フックス・コホモロジー / 運動量写像 / 既約表現 / 結晶基底 / グレブナー基底 |
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| Research Abstract |
2n次元斜交線形空間の形式的ハミルトン・ベクトル場の成すリー環のSp(2n)相対ゲルファント・フックス・コホモロジー群の研究を行いました。
1970年代にゲルファント等によって始まった形式的ハミルトン・ベクトル場の成すリー環 ham{2n} は部分リー環として次の2種類を持ちます。(1) 原点で0になる部分リー環(記号 ham{2n}{0})。(2) 原点での値が位数o(2)で0になる部分リー環(記号 ham{2n}{1}, M. Kontsevichによる)。我々はこれまで ham{2}{1} の余鎖複体の構造を表現論の助けを借りて綿密に研究し, ham{2}{0} のコホモロジー群について, 重み20までは把握できています。ham{2}{0} の次数7重み16の相対コホモロジー群は斜交構造を介して自然に ham{2} の次数9重み14の相対コホモロジー群と同型であろうとの森田茂之氏等の予想に本研究で取り組み, 肯定的な結果を得ました。An affirmative answer to a conjecture for Metoki class との題で投稿中です。この論文では数式処理ソフト Maple によるグレブナー基底の理論を使っていますが, 計算の正しさを補強する為に他の数式処理 Risa/Asir を使った証明を得ました。この結果は, http://www.math.akita-u.ac.jp/~mikami/Conj4MetokiClass/ に公開しています。
空間次元が大きい時, 同様の研究を推し進める際の障害は, テンソル積の既約分解を求める際に起こります。2次元の場合は Clebsh-Gordan 法則がありますが, 4次元以上だとLittlewood-Richardson 規則を利用します。一方, 柏原・中嶋両氏の結晶基底(crystal base)理論に拠れば, テンソル積の既約分解を与える法則が明快です。それを使って6次元の場合に, 重さ6までの ham{6}{0} の相対コホモロジー群の結果を得ました(The relative Gel'fand-Kalinin-Fuks cohomology groups of the formal Hamiltonian vector fields on 6-dimensional plane)。投稿準備中であり, arXive に公開済みです。
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