2011 Fiscal Year Research-status Report
不定値グラスマン多様体上のツイスター変換と無限次元表現論
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23540073
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
関口 英子 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50281134)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | ペンローズ変換 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 表現の分岐則 / 複素多様体 / リー群 / グラスマン多様体 / 積分幾何 |
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| Research Abstract |
本研究は当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，不定値グラスマン多様体上に定義される無限次元表現を積分幾何の立場から明らかにすることを目指している。今年度は，論文 "Branching rules of Dolbeault cohomology groups over indefinite Grassmannian manifolds" (2011)において，不定値グラスマン多様体上の Dolbeault コホモロジー群に定義される無限次元表現の分岐則を具体的に求めた。これは代数的には Zuckerman--Vogan の導来函手加群のある系列を半単純対称対 (G,H)=(SU(n,n), SO*(2n))に制限したときに離散分解する場合の分岐則であり，しかも同じ既約表現は二度現れない（無重複表現）分解になっている。証明の手法は二つの群 G と L(H と相補う部分群)のペンローズ変換を用いるものである。さらに，論文 "Penrose transform for indefinite Grassmann manifolds" (2011) においては，不定値グラスマン多様体上の Dolbeault コホモロジー群の間に定義されるペンローズ変換の像がみたす偏微分方程式系を具体的に書き下し，逆にその大域解が全てペンローズ変換で得られることを証明した．この結果は従前 Eastwood, Penrose, Wells 等によるペンローズ変換の結果を概均質ベクトル空間の b-関数を用いるという全く別の手法で拡張したものであり，非管状領域に対しても成立することを示した定理である。最新の結果をアメリカ数学会で講演した（2012 年 1 月）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，その幾何的な解明を目指すものである。当該研究代表者の結果である，管状領域に定義される偏微分方程式系に関する結果を，研究目的を達成するための第一の段階として，非管状領域の場合に拡張し，ペンローズ変換を使って，Dolbeault コホモロジー群への対応を構成した。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度までの研究をふまえて，今後の研究目標として不変式論の有界対称領域への応用を考えている。このステップにおける目標は以下に述べる二つに分けることができる。(1) 前年度に構成したペンローズ変換の像がみたす偏微分方程式（青本--Gelfand の超幾何微分方程式系の一般化）の構造を調べるために概均質ベクトル空間の b-関数を用いて，各々の有界対称領域上に構成した偏微分方程式の Bruhat 成分を決定する。(2) 逆に微分方程式の任意の正則大域解がペンローズ変換の像として構成できることを証明する。またアメリカ数学会における講演「Penrose transform between symmetric spaces」の講演録において最新の結果の概要を執筆する予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
京都大学数理解析研究所で一年に一回，解析・幾何的な観点の表現論の研究集会が（通常は夏に）行われ，秋には総合的な表現論シンポジウムが開催され，冬には解析的な話題に焦点をあてた表現論のワークショップが開催される。また数学の様々な分野の世界的な権威を招いて，行われる高木レクチャーが今年度は京都大学数理解析研究所で開催される。本研究の進行状況により，上記あるいはそれ以外の講演会の内の二つに参加し，成果発表と新しい研究の進展についての情報を収集しようと考えている。複素多様体，表現論に関する書籍を購入する。
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