2013 Fiscal Year Research-status Report
不定値グラスマン多様体上のツイスター変換と無限次元表現論
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23540073
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
関口 英子 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50281134)
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| Keywords | ペンローズ変換 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 表現の分岐則 / 複素多様体 / リー群 / グラスマン多様体 / 積分幾何 |
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| Research Abstract |
今年度は平成 23 年度(2012 年 1 月)に行われたアメリカ数学会の分科会における Helgason 教授の 85 歳記念研究集会の招待講演に基づいて執筆した論文を Contemporary Mathematics (アメリカ数学会)に発表した。この論文では，無限次元表現の特異性が twistor 変換においてどのように関わるかについての抽象論を展開し，不定値グラスマン多様体を用いて具体例を与えた。さらにある系列の特異なユニタリ最高ウェイト表現を対称対に制限したときにどのように分解するか（分岐則）を決定した。
半単純対称対に関するスカラー型の正則離散系列表現の既約分解に関する公式として Hua--Kostant--Schmid--Kobayashi の分岐則が知られている。この公式を特異なユニタリ表現に拡張することを目指し，それを具体例で実行した。すなわち，不定値グラスマン多様体上の正則直線束の Dolbeault コホモロジー群に表現を実現し，ペンローズ変換による像が行列式型の連立偏微分方程式系をみたすという定理を活用することによって分岐則の明示式を得た。この分岐則は無重複表現であるが，その無重複性に関しては複素多様体の可視的作用の一般理論から導かれる小林氏の定理「スカラー型最高ウェイト表現を半単純対称対に制限すると無重複である」の特殊な場合と解釈することができる。本研究はペンローズ変換の手法を新たに取り込んで，その抽象的な無重複性定理を明示化して分岐則を決定したという意味をもつ。それを論文にまとめ，学術誌 International Journal of Mathematics で公表した。
アジア数学者会議の招待講演において，上記の最新成果をまとめた発表を行った（平成 25 年(2013 年) 7 月）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，その幾何的な解明を目指すものである。
具体的には不変式論の有界対称領域への応用として，非コンパクトな複素多様体上の Dolbeault コホモロジーに対して，パラメータをもつサイクル上の積分として構成したペンローズ変換の像がみたす偏微分方程式（青本--Gelfand の超幾何微分方程式系の一般化）の構造を調べ，さらに非コンパクトな部分群に関して，表現がどのように分解するかについてペンローズ変換の像がみたす微分方程式の制限を考察することにより，具体的な分岐則を構成することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度までの研究をふまえて，今後の研究目標として，特異なパラメータに焦点をあて，Zuckerman 導来関手加群に対応する Dolbeault コホモロジーに対するペンロース変換を考察することを予定している。ペンローズ変換が単射でない例，特に最初に与えた Dolbeault コホモロジーと同じ次元をもつような大きな kernel をもつ例を考察する。また Dolbeault コホモロジー上の同型な表現を与える二つの相異なる複素多様体の例についてツイスター変換を利用した考察を行いたいと考えている。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
表現論の最新の結果についてまとめられた論文集「Perspectives in representation theory」(Contemporary mathematics, アメリカ数学会)が 2013 年度末に購入できると考えていたが，昨年度中には購入できなかったため．
上記の論文集が今年度には購入可能になったため，今年度の予算と合わせて購入する予定である．
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