不定値グラスマン多様体上のツイスター変換と無限次元表現論

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 23540073
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 関口 英子 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50281134)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2016-03-31
• Keywords: ペンローズ変換 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 表現の分岐則 / 複素多様体 / リー群 / グラスマン多様体 / 積分幾何

Outline of Annual Research Achievements

昨年度までの研究をふまえて，特異なパラメータに焦点をあて，Zuckerman 導来函手加群に対応する Dolbeault コホモロジーに対するペンローズ変換についての考察を行った。
ペンローズ変換が単射でない例，特に最初に与えた Dolbeault コホモロジーと同じ次元をもつような大きな kernel をもつ例について考察した。
また不定値ユニタリ群の既約ユニタリ表現の中で，Gelfand--Kirillov 次元が縮退している表現でしかも無限小指標が整である場合は，適当な係数の (g, K) コホモロジーが非消滅になるという重要な性質が成り立つ。さらにパラメータが十分に regular な場合は，その表現の自然な構成法が知られている（Zuckerman 導来函手加群，D 加群，複素多様体における Dolbeault コホモロジーなどを用いた実現）。しかし，パラメータが特異な場合の表現は今なお未知な部分が多い。
従来の研究で，いくつかの簡約リー群の表現が特異なパラメータをもつ場合に，複素幾何的な表現の構成（Dolbeault コホモロジーを用いる）と，エルミート対称空間の上の正則切断の空間である種の偏微分方程式系の解空間との間に，ペンローズ変換による全単射写像を作ることができた。この構成をさらに推し進めることによって，全く異なる複素多様体上に同じ表現を構成する例を発見した。その理由の解明を進めている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究は当該研究者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，その幾何的な解明を目指すものである。
今年度は二つの polarization による表現で同じものが構成できるという現象を発見した。これは注目すべき現象であり，現在，その原因の解明にむけて研究が進行中である。

Strategy for Future Research Activity

昨年度までの研究に引き続き，必ずしも canonical chamber に入っていないパラメータまで考察を広げ，Zuckerman 導来函手加群に対応する Dolbeault コホモロジーに対するペンローズ変換を考察することを予定している。
Dolbeault コホモロジー上の同型な表現を与える二つの相異なる複素多様体の例についてツイスター変換を利用した考察を行いたいと考えている。また，昨年度までに得た結果をツイスター変換との関連でまとめて，発表したいと考えている。