2012 Fiscal Year Research-status Report
正則写像のなす空間の位相と実特異点論のホモトピー論への応用の研究
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23540079
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山口 耕平 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (00175655)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木田 雅成 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (20272057)
大野 真裕 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (70277820)
山田 裕一 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (30303019)
島川 和久 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (70109081)
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| Keywords | 実代数幾何学 / ホモトピー論 / 実射影空間 / 複素射影空間 / トーリック多様体 / derived category / 代数幾何学 / 手術 |
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| Research Abstract |
（１）実代数的多様体Xから、（実あるいは複素）グラスマン多様体への連続写像fは、X上の任意のベクトル束が実代数的ベクトル束で近似できるとき、写像fのホモトピー類は多項式で表現される代数的写像（正則写像）を代表元にとれることが知られている。この結果の空間への拡張定理を、とくに、実（または複素）射影空間の場合に、M. Adamaszek氏(Univ. Warwick, England)とA. Kozlowski教授（Univ. warsaw, Poland)との共同研究で解明した。この結果は、Quart. J. Math. (2011)に発表した。さらに、この空間が写像の次数によってfiltrationがはいるが、その次数でどの次元まで近似できるか（Atiyah-Jones型原理）を計算できた。
（２）（１）で得られた結果を実射影空間から、滑らかなコンパクトな射影的トーリック多様体への拡張を試みた。こお部分的結果については、A. Kozlowski氏と電通大の大野真裕氏との共同研究で証明できた。この結果についての論文準備中である。さらに、関連する実トーリック多様体にも同様な結果が成り立たないかを研究した。
（３）異なる結び目から同じレンズ空間が得られる手術の組を研究し、関連する４次元多様体を考察した。
（４）昨年に引き続き、Derived categoryの研究を代数幾何学的側面から研究した。さあらに、代数幾何学的側面からトーリック多様体を研究した。
（５）Diffeorogyを研究し、関連する微分空間のカテゴリーにおける骨組みでのオモトピー論の構築の研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初考えていたAtiyah-Jones型定理が実射影空間の間の写像空間の場合については、解明でき、すでにQuart. J. Math. (2011)に発表できたことで第１の目的は達成できた。さらに、この結果を利用して実射影空間の間の写像空間のホモトピー群の計算にも応用でき、これについても２０１２年度に、Math. J. Okayama Univ.に発表できた。またすでに前述のQ.J.M.の結果のうち、近似次元の改良にも、A. Kozlowski氏との共同研究で達成された。（これについても、Topology and its Appl. (2013)で発表される予定である。以上の理由により、おおむね順調に進展してると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）引き続き、実代数的多様体(real algebraic variety)からグラスマン多様体への写像全体の空間をその間の代数的写像の作る部分空間でホモトピー論の立場から近似することを研究すること（いわゆるAtiyah-Jones型定理）を第１の目標とする。
（２）とくに、本年度は、（１）の問題に関連して、実射影空間から、滑らかなコンパクト射影的トーリック多様体への連続写像の成す写像空間の場合にも、（１）と同様なAtiyah-Jones型定理が成り立たないかを解明することを主目的に取り組む。そのために、研究分担者の大野先生と以前からのA.Kozlowski教授との共同研究で解明する予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
該当なし
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