2015 Fiscal Year Annual Research Report
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23540090
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50192894)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田丸 博士 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50306982)
澁谷 一博 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00569832)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | 可積分条件 / リーマン多様体 / 局所等長埋め込み / 微分方程式 / 不変式 / 共変式 / ガウス方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主に３次元リーマン多様体が４次元ユークリッド空間に局所等長埋め込み可能となるための必要十分条件を、リーマン多様体の内在的な量であらわすための研究を行った。その結果、埋め込み可能となる条件として、曲率テンソルが定めるある３次の不変式に関する不等式が成り立つこと、及び曲率とその共変微分を用いたある高次のテンソル式（これは共変式となる）が０になることが（リーマン多様体が generic の仮定の下で）必要十分であることを示すことができた。ここに現れる不等式はガウス方程式の可解性に関わる条件であり、また後者の共変式は、等長埋め込みを表す偏微分方程式系の可積分条件から導かれるものである。
前年度までの研究により、個々の空間に対する埋め込み可能性の判定法は既に確立していたのであるが、今年度の成果により、ある手順を積み上げて判定するのではなく、ある幾何学的な量を計算するだけで埋め込みの可能性をほぼ１００％判定することが可能となった。これは内在的な量のみで、等長埋め込みの可否が判定できるという、今までにない新しい方向性を示す結果である。
またこの種の判定の際に現れる不変式・共変式は、書き下すと一般に膨大な長さをもつ式となり、その取り扱いは困難を極めるのであるが、古典的不変式論における記号的方法を用いることにより、この難点を一部解消することができた。この手法は、多様体上の平坦な幾何構造の存在判定問題にも有効な手法であると思われ、本研究期間中にすべての問題を解決するには至れなかったものの、将来に向けて大きな足場を築き上げることができたといってよい。
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