2013 Fiscal Year Research-status Report
シンプレクティックトポロジー的手法と代数幾何的手法による４次元多様体の研究
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23540096
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| Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
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Principal Investigator |
佐藤 好久 九州工業大学, 大学院情報工学研究院, 教授 (90231349)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
足利 正 東北学院大学, 工学部, 教授 (90125203)
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部, 准教授 (10264144)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (20323777)
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| Keywords | Lefschetz fibration / Lefschetz pencil / symplectic manifold / pseudoholomorphic curve / fibered complex surface / geography / Kodaira dimension |
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| Research Abstract |
本研究の目的は、シンプレクティック構造をもつ４次元閉多様体上に自然に入るファイブレーション構造を、シンプレクティックトポロジー的手法と代数幾何的手法を用いて解明することである。ファイブレーション構造をもつ複素代数曲面での研究内容がどの程度、シンプレクティック４次元多様体についても成立するかどうかは、自然な研究問題である。当該研究課題では、複素曲面の代数幾何的研究と照らし合わせて非極小レフシェッツ束空間の「地誌学」を調べること、および、レフシェッツ束空間に「小平次元」の概念を導入し小平次元を軸とする分類を考察することを具体的な研究目的としている。
このような研究目的にそって、平成２５年度の研究計画は、平成２４年度の研究を継続して、シンプレクティックトポロジー的手法により擬正則曲線を解析しながらレフシェッツ束空間の標準類を決定すること、および、２重分岐被覆や写像類群によりレフシェッツ束空間を構成することである。ある条件（例えば、十分に多くの自己交差数が－
１の球面を含む）のもとでレフシェッツ束空間の標準類を決定し、地誌学や小平次元による分類をすることができており、これにより、地誌学や小平次元の研究のための準備が整いつつある。
また、研究代表者の研究を契機に国内でも多くの研究者がレフシェッツ束空間の自己交差数（―1）の切断について研究するようになった。その手法の多くは写像類群を利用した研究であり、組合せ的議論によりものである。通常の研究集会等では時間的な問題もあり、結果のみの発表となることが多く、途中経過の組み合わせ的議論を説明することはほとんどない。このような状況を考え、写像類群における様々な「技法」を共有する目的で平成26年3月に研究集会「写像類群における関係とレフシェッツ束空間」を開催した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
レフシェッツ束空間の標準類の決定に関しては、ある条件のもとではあるが、その研究目的を達成し、それにより、その条件下での地誌学や小平次元の研究に応用することができている。このことは学術専門誌にて発表することができた。しかしながら、設定条件を外すための擬性正則曲線の特異点の解析がうまくできていない。これができれば、条件なしに非極小レフシェッツ束空間の標準類の決定を行うことができる。また、小平次元の研究に関しては、既存の小平次元の枠組み（標準類の交差状況から定義する小平次元のシンプレクティック版、代数幾何的な因子次元（飯高‐小平次元））から抜け出るような研究ができず、本来の研究目的である小平次元の本質的な研究まで及んでいない。より大胆な研究、例えば、複素代数曲面論にて重要な多重標準写像の類似物をシンプレクティック４次元多様体に対して構成（定義）可能かどうかを検討する必要がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２５年度の研究を継続しながら、当初の計画目標達成を目指す。そのために、標準類の（特異）擬正則曲線表現、特に、その特異点のまわりでの状況をシンプレクティック
トポロジー的に精密に解析する必要がある。小平次元に関する研究では、正則レフシェッツ束空間の飯高‐小平次元として最良の因子を探す一方で、別の方法としての、複素代数曲面論にて重要な多重標準写像の類似物をシンプレクティック４次元多様体に対して構成（定義）可能かどうかを検討する。
次年度使用額が生じた理由は、消費税増税直前のPC関連需要増に伴い納入できなかったことである。これは、次年度において、予定物品の購入および研究集会報告集の増刷にあてる予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
消費税増税直前の急激なPC関連需要増に伴い、予定していた物品の年度内での納入が不可能だったため。
購入を予定していた物品を今年度予算にて購入し、更に、研究集会報告集の増刷にあてる。
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