2013 Fiscal Year Annual Research Report
群作用の軌道構造を保つ同変写像の存在問題および分類問題の研究
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23540101
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| Research Institution | Kyoto Prefectural University of Medicine |
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Principal Investigator |
長崎 生光 京都府立医科大学, 医学(系)研究科(研究院), 教授 (50198305)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川上 智博 和歌山大学, 教育学部, 准教授 (20234023)
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| Keywords | 変換群 / 同変トポロジー / Borsuk-Ulam型定理 / 等変写像 / 順序極小構造 |
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| Research Abstract |
研究代表者の長崎は，等変写像（軌道構造を保存する同変写像）の存在性・非存在性について研究を進めた．非存在性に関してはBorsuk-Ulam群を考察し，新たなBorsuk-Ulam群の族を発見した．存在性に関しては，同変写像との比較をしながらその研究を行った．具体的には以下の成果を得た．
(1) 2-Sylow部分群が，巡回群，2面体群，一般四元数群であるか，または2-Sylow部分群がアーベル群でp-Sylow部分群（pは奇素数）が巡回群である有限群はBorsuk-Ulam群である．したがってこれらの群では等変Borsuk-Ulam定理が成り立つ．
(2) Gが位数pqの巡回群のとき（p, qは異なる素数）において，複素表現球面の間の同変写像および等変写像の存在する必要十分条件を不動点集合の次元の条件で求めた．これから，同変写像は存在するが，等変写像は存在しない表現空間が構成できる．さらにこの事実から，特異集合の逆像は空でないこと（Borsuk-Ulam型定理の類似）が導かれる．
一方，分担者の川上は等変近似定理の確立のために順序極小構造のもとで同変トポロジーを展開した．具体的には，定義可能G集合の各点に定義可能スライスが存在するという定義可能版のスライス定理，定義可能G集合に関するGホモトピー拡張定理，定義可能写像に関する存在定理を証明した．
研究期間全体を通じて，等変写像の存在定理および分類定理の研究が大きく進んだといえる．特に新たなBorsuk-Ulam群の族を発見することができたことはこの分野の研究において重要な成果と思われる．また，等変近似定理の基盤として順序極小構造における同変トポロジーが有効であることが本研究で示唆され，今後の研究の展開が期待される．
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