2014 Fiscal Year Research-status Report
曲面の特異平坦計量によるタイヒミュラー空間と位相的力学系
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23540103
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
高山 晴子 城西大学, 理学部, 准教授 (90274430)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / 錐状特異点 / 平坦構造 / 擬エルミート計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
タイヒミュラー空間およびリーマン面のモジュライ空間の幾何構造について、点付きリーマン面のモジュライ空間をリーマン面上の錐状特異点付き平坦構造のモジュライ空間との同一視を通した研究を行っている。この同一視とは、点付きリーマン面に対し、その各点において実数を指定すると、それらの実数の組に対し、その点を除いたところに入るユークリッド構造が一意的に定まるというToroyanovによる結果による。このことは、特にリーマン球面の場合には、いわゆる上半平面を外角を指定した多角形に写像するというShwarz-Christoffel写像によって対応が定まっている。本研究は、著者が小島定吉氏（東工大）と山下靖氏（奈良女子大）との共同研究によって得た多角形のモジュライ空間の幾何構造を一般の点付きリーマン面の場合に拡張しようという試みである。
実際、凸多角形のモジュライ空間には、面積形式により双曲構造が入ることを共同研究で示したが、Bavard-Ghysの結果により、一般の外角条件における多角形のモジュライ空間の面積形式は外角によって定まる符号(p,q)をもつ２次形式となる。一方、Deligne-Mostowによる超幾何関数のモノドロミーから穴あき球面上のあるコホモロジー上のエルミート形式が得られているが、その符号はBarvard-Ghysの結果の拡張になっていることを見い出した。よって、Barvard-Ghysの結果をリーマン球面に拡張してえられる、リーマン球面上の錐状特異点のモジュライ空間における面積形式と、Deligne-Mostowによるコホモロジー上のエルミート形式の明確な対応の構築を目指している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
タイヒミュラー空間の幾何構造について、超楕円曲線状の錐状特異点付き平坦構造のモジュライ空間をリーマン球面上の錐状特異点付き平坦構造のモジュライ空間との同一視を通して面積形式による擬エルミート計量を構成したこと、およびリーマン球面上の負曲率をもつ錐点をもつような一般の錐角をもつ錐状特異点付き平坦構造のモジュライ空間上の面積形式の符号について決定できたことによる。
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| Strategy for Future Research Activity |
リーマン球面上の錐状特異点付き平坦構造のモジュライ空間およびそのタイヒミュラー空間上の面積形式について、Deligne-Mostowの一般化された超幾何関数のモノドロミーによる穴あき球面上のあるコホモロジーのエルミート形式についての関係をより明確にする。また、この平坦構造のモジュライ空間の幾何構造が錐状特異点をもつ場合、その体積についてMcMullenの公式を応用して計算する。
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| Causes of Carryover |
研究集会に出席した場合、多くが都内であったため旅費が小額であったことと、また海外出張を計画していたが、訪問先の都合と折り合わず実現しなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度はフランス（ストラスブール）のタイヒミュラー空間の専門家であるPapadopoulos教授を訪問するための旅費として使用する。また、引続き各研究会に出席し、連携研究者達との研究連絡のための旅費および、研究に必要な専門図書の購入費として使用する。
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