2011 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
23540104
|
|---|
| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
|---|
Principal Investigator |
中山 裕道 青山学院大学, 理工学部, 教授 (30227970)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
|
| Keywords | 位相幾何 / 力学系 / 幾何学 |
|---|
| Research Abstract |
不変なコンパクト集合のうち，包括関係に関して極小なものを，（力学系における）極小集合という．本研究では，近年進展したプライムエンド理論を活用し，２次元多様体上の連結極小集合の分類を目的としている． 平成２３年度は，弧状連結でない連結集合として有名なワルシャワ円について，これを極小集合を持つ２次元微分同相写像について研究を行った．弧状連結でない連結集合として有名なのが，y=sin(1/x)のグラフの閉包である．この特異点集合を円周に無限回織り込んでできるコンパクト集合をワルシャワ円という．ワルシャワ円の同相写像で極小なものは，６０年ぐらい前にゴットシャーク・ヘドランドにより構成された．しかし，平面の同相写像で極小集合がワルシャワ円と同相なものが存在するかという問題の解決にはそれから４０年ぐらいかかり，１９９１年ウォーカーにより条件を満たす例が構成された． 本研究で，平成２３年度に，平面の微分同相写像で弧状連結でない連結極小集合を持つ２次元微分同相写像を構成した．同相写像を微分同相写像に拡張したところが進展したところである．このような例を普通に作ろうとすると，特異点集合において微分可能でなくなってしまう．本研究では，なぜ微分可能にならないかについても特徴付けを行った．技術的には，ワルシャワ円の特異点集合を円周の方向に倒していくことが必要になってくる．この発想のもとに，ハンデルの構成法を踏襲し，平面の微分同相写像で極小集合がワルシャワ円と同相なものを構成した． おそらくこの極小集合はワルシャワ円の力学系を制限したものになっていると思われるが，力学系の構造の決定にはいたっていない．力学系の構造まで決定されれば，平面の微分同相写像で極小集合がワルシャワ円と同相なものについての研究が完成する．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では，２次元多様体上の連結極小集合の分類を目的としている．このうち，本年度の研究により．ワルシャワ円と同相な極小集合を持つ力学系の分類をほぼ完成した．最終的には，２次元多様体上の連結極小集合全部を分類することを計画している．この意味では，１つの集合についてのみの分類にすぎないが，もともと，連結極小集合になる候補が少ない上，ワルシャワ円はこのような候補の代表格であるため，大きな進展といえる．
|
| Strategy for Future Research Activity |
今後は，他の有名な集合に関しても分類を進めていき，最終的に，２次元多様体上の連結極小集合全部について分類することを計画している．１次元力学系の目覚ましい成果は，その極小集合の分類に支えられている．２次元力学系の連結極小集合を分類できれば，力学系理論の定性論を大きく進展させることができると考えている． 次元の低い多様体上の連結コンパクト集合の研究は１世紀近く研究されており，かなり多くの問題が完全に解決している．これらを参考にするとともに，近年進展したプライムエンド理論を活用し，連結極小集合の分類を進めていく．
|
| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度も物品費によるコンピュータの整備，研究打ち合わせのための旅費に，研究費を主に使用する．力学系を研究する人の中には天体や気象のシミュレーションしている達がいる．彼らは最新のコンピュータを用い，巨額な予算のもとにシミュレーションを行っている．本研究は理論であるため，そこまで強力なコンピュータを必要とはしないが，もちろん天体や気象現象の数理モデルにも極小集合は存在するので，コンピュータシミュレーションにより目算を立てることにコンピュータを用いる． 翌年度以降も，コンピュータシミュレーションを行うが，更に，研究打ち合わせが重要になる．一般トポロジーと呼ばれるグループが，連結コンパクト集合の特徴に精通している．新しい分類に進展させる前に，これらのグループから情報を得るため特に旅費を使用する．
|
