2011 Fiscal Year Research-status Report
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23540107
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
志摩 亜希子 東海大学, 理学部, 准教授 (50317765)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | トポロジー / 曲面結び目 |
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| Research Abstract |
鎌田氏によって、４次元空間に埋め込まれた曲面を研究するために、平面上のラベルと向きが付けられたグラフで表現する手法、chart が定義された。頂点は次数１,４,６の３種類あり、次数４の頂点を crossing という。この研究目標は chart を使って曲面結び目を分類することである。crossing が３個以下の chart はある程度調べられている。crossing が４個の chart を研究するにあたって、今回は辺のラベルの種類が１,２,３のいずれかである 4-chart について調べた。 Γを 4-chart とする。Γ1∪Γ3 を crossing により分けると、互いに交わらない tree からなるならば、Γを lineal chart という。但し Γm はラベルが m の辺とそれらの頂点からなる部分グラフとする。 今回の主結果は『次の２つの条件を満たす 4-minimal linear 4-chart は存在しないこと』を示したことである。(１)丁度４つの crossing を含む。(２) chart が表す曲面が球面達である。k-minimal の詳しい定義は述べないが、chart の複雑さと呼ばれるものが一番小さい chart である。 今回の研究で、crossing が４個の chart は crossing が３個以下の chart に比べて数倍複雑でありそうだと分かった。つまり、今まで知られていない曲面結び目を発見できるかもしれないという嬉しい可能性が得られた。今後は残りの 4-chart を調べ、chart の分類表を作っていく重要な一歩にしたいと思う。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究目標は大きなものとして、chart を使って曲面結び目を分類することを上げ、そのために３つの目標を上げた。その内の１つである『minimal n-chart で４つの crossing を含むものについて調べる』ことについて、今回は研究した。 当初はラベルが何種類もある n-chart について何らかの結果が得られると予想していた。実際調べてみると、ラベルが１,２,３ のみしかない 4-chart でも複雑な種類があるのではないかと分かった。結果は linear 4-chart と呼ばれる種類についてのみ、どのような曲面結び目を表すか調べることが出来た。 結果のみを見ると進んでないように思われるが、この結果から何が予想されるかというと、４つの crossing を含む 4-chart に豊富な例があることが予想され、今まで知られていない曲面結び目を発見できるかもしれないという嬉しい可能性が得られた。また、chart を用いた曲面結び目の分類表を作っていく重要な一歩になっていると思われる。この研究の１年目として、おおむね順調に進展していると自己評価しました。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究は更に詳しく４つの crossing を含む chart について調べていきたい。このためには２つの方向が考えられる。１つはどのような chart があるのか重複してもいいが、すべて調べ上げることである。もう１つは様々ある chart に対して、どれとどれが同じであるか区別することである。 すべて数え上げるためには、まずは以下のような tangle (D∩Γ,D) について調べる必要がある。(1) 円板 D の境界と交わる辺のラベルが４本を除いて同じであり、円板 D が crossing を含まず、辺のラベルが m と m+1 のみからなる。その他にも、色々な性質を調べる必要があると思われる。どのような性質を調べるべきかも、今後の研究課題である。 去年はあまり重点的に行わなかった、様々な chart が現れたときに、それらをどのように区別していくかという方法についても調べていきたい。そのため曲面結び目の不変量の研究にも着手していきたい。特に知られている monodoromy 表現を使った不変量、Alexander module、quandle cocycle 不変量などを効果的に計算する方法も詳しく研究する必要になってくると思われる。これらを計算機を使ってうまく計算出来ないだろうか今後の研究課題である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度は、詳しく４つの crossing を含む 4-chart について調べていきたい。推進方策にも述べたが、有効な不変量がないか調べる必要が生じる。そのため色々な研究集会に参加、発表等を行い、他の人の意見を聞いたり、情報を手に入れて行きたいと思う。当初の計画通り、研究費の内、一部は研究集会で発表をするために使うことを予定しています。また、話だけでは詳しいことは分からないので、必要な専門書を購入するために研究費を使用しようと思います。
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Research Products
(4 results)
