2013 Fiscal Year Annual Research Report
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23540108
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
田中 真紀子 東京理科大学, 理工学部, 教授 (20255623)
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| Keywords | Hermite対称空間 / 実形 / 対称R空間 / 対蹠集合 / 鏡映部分多様体 |
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| Research Abstract |
研究期間以前に、田崎博之氏との共同研究で、コンパクト型Hermite対称空間の二つの実形の交叉が対蹠集合になることを証明したが、その証明中にコンパクト型Hermite対称空間が既約でない場合には正しくない議論があることがわかり、研究期間中にその修正に取り組み、既約でない場合を詳しく調べることにより正しい証明を与えることができた。最終年度には、実形の交叉とコンパクト型Hermite対称空間の正則等長変換の不動点集合との関係に着目し、正則等長変換の不動点集合が離散になるための必要十分条件を与え、二つの実形の交叉とそれぞれの実形を定める対合的反正則等長変換から定まる正則等長変換の不動点集合が、離散のときには一致することを証明した。以上の結果は井川治氏と田崎博之氏との共著論文として準備中である。
一方、研究期間中にEschenburg氏とQuast氏と共同で対称R空間の鏡映部分多様体の研究を行い、対称R空間の鏡映部分多様体が対称R空間であることを証明するために、対称R空間を外的対称空間とみなすことにより、外的対称空間の任意の等長変換が線形等長変換に拡張できることを証明することに問題を置き換え、その特別な場合として、Hermite対称空間の場合にそれが成り立つことを証明した。さらなる一般化が困難だったため、最終年度には、Loosによる対称R空間の直交極大トーラスによる特徴付けに着目し、この結果を利用できないかと考えた。この結果を深く理解するためにLoosによるJordan三対系の理論を用いた代数的な証明とは別の幾何学的な証明を与えた。主なアイディアはChen-Nagano理論における子午空間とよばれるコンパクト対称空間の全測地的部分多様体を利用して、より単純な対称空間である球面とトーラスのRiemann積に議論を帰着させるものである。この結果は学術雑誌に掲載が決定している。
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