2013 Fiscal Year Research-status Report
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23540122
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
種村 秀紀 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40217162)
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| Keywords | 無限粒子系 / 強マルコフ性 / ディリクレ形式 / エアリー点過程 / ランダム行列 / 相関関数 / 確率微分方程式 / 行列値過程 |
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| Research Abstract |
相互作用を持つ無限粒子系の構成は、確率微分方程式を用いる方法、Dirichlet形式理論を用いる方法などがあるが、非衝突無限ブラウン運動のように時空相関関数が行列式で表現される場合、つまり行列式過程の場合は、具体的な計算により無限粒子系を構成することができる。
非衝突ブラウン運動から導かれる無限非衝突過程は、スケーリングにより複数あることが知られている。1つはバルクスケーリング、もう一つはソフトエッジスケーリングと呼ばれている。Prahofer-Spohn, Johannson により導入された行列式過程はソフトエッジスケーリングに対応したものであり、Airy点過程を平衡分布にもつ確率過程である。一方長田氏により、Dirichlet形式理論に用いて、Airy点過程を平衡分布にもつ拡散過程が構成されている。これらの2つの確率過程が同等であれば、行列値過程に対してDirichlet形式理論に基づく確率解析が適用できることになる。
当該年度では、長田博文氏との共同研究により、この拡散過程がみたす無限次元確率微分方程式を決定し、さらにその解の一意性を示すことに成功した。一方、Prahofer-Spohn, Johannson により導入された確率過程の強マルコフ性は、これまでに未解決であったが、肯定的に証明することができた。この強マルコフ性を用いることにより、Prahofer-Spohn, Johannson により導入された確率過程がを我々が導入した確率微分方程式を満たすことが分かり、さらに解の一意性から2つの確率過程一致が導かれた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
相互作用を持つ無限粒子系を記述する確率微分方程式の解の一意性についの研究は、研究代表者が長い間行ってきたが、相互作用が Rueele クラスなどのあまり強くない場合でも難しく、短距離相互作用の場合での研究に限られていた。当該年度に研究での結果は、 Rueeleクラスはもちろん、対数ポテンシャル相互作用も含むクラスを扱っており、これは当初の計画以上に進展している。この結果を導くためには斬新的なアイデアが多く使われており、国内外の関連分野の研究者による反応も大きい。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度に得られた一意性の結果は、かなり一般的な場合にも適用することができる。そして、マルチンゲール問題の一意性、極限定理への応用等が考えられる。無限粒子系に限らず、さまざまな無限次元確率微分方程式の一意性への展開をめざし推進させていく。
非平衡系の研究については、複素ブラウン運動表現の一般化の研究が進んでいる。当初の計画に沿って推進させていく。
ＫＰＺ方程式と呼ばれる確率偏微分方程式と我々が挿入した無限次元確率微分方程式との関連については、26年度での中心的研究の1つとなる。ＫＰＺ方程式の研究者の研究会が26年度に多数行われる予定であるので、彼らとの議論を重ねることにより、研究を推進させていく。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度使用額が生じたのは次のような理由によるものである。
１）専門的知識の提供のため謝金等を用意していたが、提供者の都合により、次年度に時期が変更になったため、当該年度は使用しなかったため。
２）購入予定であった書籍が当該年度までに入手できなかったため、使用しなかった物品費が発生した。
次年度の使用計画としては次のようなことを考えている。
１）当該年度に予定していた専門的知識の提供を次年度に変更する。また今年度は国際数学会議が開催され、それに伴いサテライト研究会が多く開催されるので、適宜参加するとともに会議での講演者に専門的知識の提供を依頼する。
２）購入予定であったが、まだ未購入であった書籍を入手する。
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