2015 Fiscal Year Annual Research Report

無限回微分可能函数の枠組においてコーシー問題が適切となる双曲型方程式の特徴付け

Research Project

Project/Area Number	23540185
Research Institution	University of Tsukuba
Principal Investigator	若林誠一郎筑波大学, 名誉教授 (10015894)
Project Period (FY)	2011-04-28 – 2016-03-31
Keywords	双曲型方程式 / コーシー問題 / 適切性 / 超局所解析
Outline of Annual Research Achievements	双曲型作用素に対するコーシー問題がＣ∞適切になるための必要十分条件を得ることを最終的な目的とし、まず、２階の双曲型作用素で主要部の係数が時間変数にのみに依存する場合を考え、超局所的な考察を通して、コーシー問題の解の波面集合が自明な場合を除いて、broken null bicharacteristcs（零陪特性帯を２重特性点で分岐させてつないだもの）に沿って伝播することを示し、この場合にも、Ｃ∞特異性の伝播は以前に私の定義した「一般化されたハミルトン流」に沿って伝播するという予想が、正しいことを示した。また、係数が時間変数のみに依存する２重特性的である高階の双曲型作用素に対して、そのコーシー問題がＣ∞適切になるための十分条件を subprincipal symbol を用いて与え、その条件が空間次元が２以下であるかまたは主要部の係数が半代数函数であるとき、必要条件にもなっていることを示した。同時に、３階の双曲型作用素で係数が時間変数のみに依存する場合に、subprincipal symbol 及び、所謂「sub-sub-principal symbol」に条件を課して、コーシー問題がＣ∞適切になることを示した。これは問題に応じて「sub-sub-principal symbol」を如何に定義すべきかを示す一例になっている。ここで課した条件は、いくつかの特別な場合には、必要条件にもなっていて、今までには知られていない新しい条件である。主要部の係数が時間変数にのみに依存する２重特性的である高階双曲型作用素に対して、２重根の個数に制限をおいて、そのコーシー問題がＣ∞適切になるための十分条件を、subprincipal symobol を用いて与え、上と同じ意味でそれが必要条件になっていることを示した。