2013 Fiscal Year Research-status Report
不動点理論と凸解析学を介した非線形関数解析学と非線形問題の究明
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23540188
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
高橋 渉 慶應義塾大学, 自然科学研究教育センター, 訪問教授 (40016142)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30260623)
木村 泰紀 東邦大学, 理学部, 准教授 (20313447)
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| Keywords | 非線形関数解析 / 凸解析 / 不動点 / 最適化 / 非線形作用素 / 均衡点 / 不動点アルゴリズム |
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| Research Abstract |
当該年度の研究は、不動点理論と凸解析学を介して、最適化問題や均衡問題などの非線形問題の解の存在と、その近似に関する問題を究明することを目的としてなされた。ヒルベルト空間では増大作用素のリゾルベントの性質から非拡大写像、ノンスプレッド写像、ハイブリッド写像が定義された。これまでこれらの写像を統一する非線形写像（ハイブリッド写像）が研究代表者により発見されたが、当年度はその写像をもっと一般化する非線形写像を定義することに成功し、その写像の不動点定理や不動点を求める弱収束定理、特にマン型の弱収束定理、及びバイロン型の平均収束定理を一般的に証明することに成功した。またその写像の強収束定理では、清水・高橋のアイデアによる写像の平均を用いての強収束定理を証明することにも成功した。さらにこの写像をバナッハ空間にまで拡張し、この写像の不動点定理や弱・強収束定理をバナッハ空間の場合でも証明した。この研究で、バナッハ空間のノルムよりも、ヒルベルト空間のノルムを一般化する二変数リアプノフ関数が有効であることも明らかにされた。さらに、この写像の双対写像に対する不動点定理も証明された。この考えを、距離空間の場合にも応用し、弱距離を用いてこれまでのいくつかの不動点定理を統一する不動点定理を得ることにも成功した。集合値写像の研究では、均衡問題は、値域が限定される極大単調作用素の零点問題であることを発見し、その極大単調作用素のリゾルベントの性質を用いて、均衡問題を集合値解析学の立場から研究することに成功し、均衡問題に対する一般的な弱・強収束定理を証明した。非線形エルゴード定理の研究では、これまで一般的ハイブリッド写像の凸性を仮定しない平均収束定理や弱収束定理を証明することに成功していたが、当年度は、ヒルベルト空間で必ずしも連続性を仮定しない写像の半群にまで拡張することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究代表者のこれまでの準備や知識が十分であったことに加え、当研究のために時間を十分使えたこと、大量の文献収集やその整理、ならびにこの研究に興味を持っている国内外の研究者との数多くの研究打ち合わせや討論が功を奏したことが、当初の計画が計画以上に進展した理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成 25 年度の研究に引き続いて、今後の研究を以下の順序で推進する。
(1) これまでの研究から、逆問題はヒルベルト空間の不動点問題として取り扱うことができるが、これを用いて、逆問題の解を求める弱・強収束定理を証明する。
(2) ヒルベルト空間のハイブリッド写像は必ずしも連続写像ではない。一方、非拡大半群は連続写像による半群である。この２つの概念を統一するような連続性を仮定しない写像の半群の理論を展開し、これまでの非拡大半群では解明できないいくつかの非線形問題を研究する。
(3) この理論をバナッハ空間にまで拡張し、連続性を仮定しない写像の半群のバナッハ空間での不動点定理や収束定理を得たい。これらの結果を用いて非拡大半群では解明できないバナッハ空間のいくつかの非線形問題を研究する。
(4) これまで研究代表者の研究によって、非線形作用素に対して双対写像が一般に定義され、ノンスプレッド写像とスキュ-ノンスプレッド写像の間には双対性が成り立つことが証明されたが、今年度は上記連続性を仮定しない写像の半群の双対性の理論を展開し、それらの間の不動点や収束性の関係等を研究する。
(5) 逆問題はバナッハ空間では研究されていない。これを、これまで研究代表者によって得られている非線形射影を用いて研究してみたい。
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