2014 Fiscal Year Annual Research Report
不動点理論と凸解析学を介した非線形関数解析学と非線形問題の究明
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23540188
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
高橋 渉 慶應義塾大学, 自然科学研究教育センター, 訪問教授 (40016142)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30260623)
木村 泰紀 東邦大学, 理学部, 准教授 (20313447)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| Keywords | 非線形関数解析学 / 凸解析学 / 不動点理論 / 最適化理論 / 非線形作用素 / 不動点アルゴリズム / 均衡点問題 / バナッハ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度の研究は、不動点理論と凸解析学を介して、均衡問題や最小化問題などの非線形問題の解の存在と、その近似に関する問題を究明することを目的としてなされた。ヒルベルト空間のハイブリッド写像は必ずしも連続写像ではない。一方、非拡大半群は連続写像による半群である。この２つを統一するような連続性を仮定しない写像の半群を考え、これをつくることに成功した。まず、ヒルベルト空間でこの半群の理論を展開し、これまでの非拡大半群では解明できないいくつかの非線形問題を解明した。制約問題を含む逆問題の研究では、逆問題の解は、ヒルベルト空間の合成写像の不動点問題として取り扱うことができることを証明し、このことを用いて、逆問題の解を求める弱・強収束定理を証明した。逆問題は、バナッハ空間では研究されていなかった。これを、これまでの研究代表者によって得られている非線形射影を用いてバナッハ空間で研究することに成功した。エルゴード定理の研究では、。線形性を仮定しない（半線形の）平均収束定理を証明することに成功した。これはバイロンによって1975年に初めて証明された非線形エルゴード定理を半群の形で証明するものである。研究期間全体を通じて、多くの有意義な結果が得られた。新しいかつ有用な非線形写像を定義することから始まり、この写像の弱・強収束定理をいくつか得るとともに、凸性を仮定しない非線形エルゴード定理を証明するなど、多くの結果が得られた。これらの結果は、国内外の研究集会で口頭発表され、また国際雑誌に公表されたが、非常に関心がもたれた。また最近諸外国でたくさん引用され始めたことを報告しておきたい。
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