2015 Fiscal Year Annual Research Report
流体力学の基礎方程式の解の一意性と正則性についての研究
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23540194
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
谷内 靖 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80332675)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 流体力学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
水や油などの粘性のある縮まない流体（非圧縮性粘性流体）の運動を記述する非圧縮性Navier-Stokes方程式の解の性質について関数解析学的手法により研究した。非圧縮性Navier-Stokes方程式とは非圧縮性粘性流体の速度場u(x,t)及び圧力場p(x,t)を未知関数とする連立の非線形偏微分方程式である。以前、私はこの方程式の時間周期解の一意性に関して、次を示した。与えられたデータに対し、適当な関数空間に属する二つの時間周期解uとvが存在したと仮定した時、その一方の解がある意味で小さければ、二つの解uとvは一致する。この研究をさらに進め、本研究では、定常解や時間周期解のように時間軸全域で方程式を満たす解の性質を関数解析学的に探求した。平成２３年度は時間周期解の一般化であるBackward almost periodic solutionに対しても時間周期解の結果と同様の一意性を証明した。 平成２４年度には、一意性のために仮定されていた「余分な正則性」の仮定を緩めることに成功した。平成２５年度には、一意性のために課せられた時間周期性や時間概周期性を大幅に緩め、二つの解u(t),v(t)が適当な関数空間に属し、一方の解が小さく、両方が弱L3空間においてprecommpactな値域を持つとき（precompact値域条件と呼ぶ）、二つの解が一致することを示した。また、平成２６年度は、両方の解に課せられていたprecommpact値域条件を、小ささを仮定している解には課さなくても一意性が言えることを示した。平成２７年度においては、precompact値域条件を満たす小さな外力に対し、precompact値域条件を満たす解の存在を証明した。既に証明してる一意性の結果から、この解は一意な解であることもわかる。
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