2011 Fiscal Year Research-status Report
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23540235
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
谷口 雅治 東京工業大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (30260623)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | 進行波 / Allen-Cahn方程式 |
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| Research Abstract |
Allen-Cahn方程式など双安定な反応項をもつ拡散方程式において，多次元進行波の研究を行った．2005年に2次元Ｖ字型進行波解の存在がNinomiya-Taniguchi (JDE, 2005)により証明され，軸対称な進行波が Hamel-Monneau-Roquejoffre (DCDS, 2006)により証明された．この時点で軸非対称な進行波が存在するのか否かは未知であったが，2007年に私は3次元角錐型進行波の存在(SIAM Math.Anal.,2007)を証明した．一般のN次元空間でも角錐型進行波を構成できるか，またそれ以外に新しい多次元進行波を構成できるかという問題意識から本研究はスタートしている．得られた成果は以下の２点である．(1) N次元角錐型進行波解の存在を証明した．この成果は，Kurokawa-Taniguchi (Proc. Edinburgh, 2011) として公表した．角錐型進行波解は3次元の場合は2007年にその存在を証明したが，一般のN次元では未解決であった．本研究ではこの問題を解決した．(2) 軸非対称な3次元進行波解の存在を証明した．この成果は国際学術雑誌DCDS-A に2012年に公表した．3次元角錐型進行波の側面の数を無限大にする極限をとることにより，軸非対称な3次元進行波解を構成することができた．困難な点は，3次元角錐型進行波の遷移層の幅の一様評価を与える必要が生じることである．本研究ではこの困難を克服して上記の結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
角錐型進行波をN次元空間で構成し，その極限として一般の進行方向に軸非対称な3次元進行波を構成することに成功したため，研究はおおむね順調に進展している．現在，この研究において学術論文３本が国際学術雑誌に掲載された．日本数学会および米国数学会において口頭発表を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
Lotka-Volterraモデルなど競争系の反応拡散方程式系にたいして，角錐型進行波を構成することを計画中である．すなわち，比較定理が成立する反応拡散系にたいして，Allen-Cahn方程式に適用した手法が適用可能であるか否かを研究中である．次年度に当初計画以上に旅費が必要となる見込みとなったため，旅費を次年度に回した.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
引き続き，反応拡散方程式における回転非対称な３次元進行波解について，国内外の研究者の方々とのディスカッションを行い，研究を進める．2012年9月3日より9月6日まで, 京都大学数理解析研究所の共同利用の一環として，RIMS研究集会が開催され，私はその代表者となっている．この研究集会は，反応拡散方程式の定性的理論を展開するため，国内外から20名を超える第一線の研究者を招聘する．この招聘のために旅費を使用する計画である．また7月に米国オーランドにおいて行われる国際研究集会ICDSDEA2012 において，スペシャルセッションを主催する計画である．
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