非線形放物型偏微分方程式の解の特異性と定常問題の解構造

2014 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 23540244
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 梶木屋 龍治 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (10183261) ; 石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 教授 (40232227)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2015-03-31
• Keywords: 非線形解析 / 非線形楕円型偏微分方程式 / 特異解

Outline of Annual Research Achievements

非線形問題においては、初期値や方程式に含まれるパラメータをわずかに変えるだけで解の挙動や性質が劇的に変化する現象が多く知られている。そのような特異な現象は、定常問題の特殊な解構造により引き起こされ得ることが知られている。本研究では、非線形放物型偏微分方程式に対して、解の挙動と定常問題の解構造との関連性について考察を行った。とくに今年度は、定常問題の解の特異性の特徴付けについて重点的に研究を行い、今後の研究への課題を見いだすことができた。
べき乗型非線形項をもつ楕円型偏微分方程式に対して、原点で特異性を持つ球対称全域解について考察を行った。劣ソボレフ臨界の、ある指数範囲における特異解を考察し、Hardy の不等式における最良定数との比較を通じて、それらが層構造を持つことが判明した。これにより特異解に対する安定性を示すことができた。さらに変分的手法により、複数点で特異点を持つ解の多重存在の可能性を見いだすことができた。しかしながら、このような解を実際に構成するには、ある種の解のアプリオリ評価等の考察がさらに必要であり、これらは今後の課題としたい。
また有界領域において一般型の非線形項をもつ楕円型偏微分方程式に対して解の分岐構造を考察した。この問題は、優ソボレフ臨界の場合には、特異解が一意に存在することがされており、さらにそのモース指数が0の場合の分岐構造がすでに示されている。ここでは、その証明を検討することにより、従来とは異なる手法でその結果を得られることができ、それにより、非線形性に関するいくつかの仮定が必要ではないことが明らかになった。さらに、その手法を発展させることにより、モース指数が１以上の場合の解の分岐についても考察できる可能性が得られた。これらの研究も今後の課題としたい。