2013 Fiscal Year Research-status Report
一般超幾何関数とモノドロミー保存変形による可積分系の大域的研究
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23540247
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
木村 弘信 熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (40161575)
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| Keywords | 一般Schlesinger系 / Twistor理論 / q-超幾何関数 / 量子Grassmann多様体 / 量子群 / 量子パンルベ系 |
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| Research Abstract |
当初の本年度の研究計画では，(a)量子Painleve系の特殊解の積分表示におけるhomology群の決定．(b) GSSのTwistor理論からみたHamilton構造の決定と tau関数との関係を明確にする，の2つであった．
(1) 量子パンルベ系の特殊解を与える積分のホモロジー群の特徴付けについては進展がなかった．
(2) Twistor理論による一般Schlesinger系（GSS)の導入，その対称性の記述について論文を発表した．これは，(2,n)-グラスマン多様体上の超幾何関数がGL(n)の正則元の中心化群Hとして得られる極大可換部分群（nの分割で決まる)によって定義されるが，GSSは一般化反自己双対Yang Mills 方程式の解に対応するTwistor空間上の同じ群Hの作用に関して同変なベクトル束が存在するための条件として具体的に記述された．またGSSの対称性はHに関するワイル群の類似物によって記述された．
(3)古典的なガウスの超幾何方程式のq-類似であるハイネのq-超幾何方程式やガウスの超幾何関数の合流型方程式のq-類似については，大山陽介によるq-差分方程式の分類がある．その解についてジャクソン積分により積分表示を与えたが，これらを量子群の視点から理解する研究した．ガウスの超幾何は古典的な場合に(2,4)-グラスマン多様体上の超幾何方程式として理解され，積分表示はGL(4)の対角行列からなる極大可換部分群の指標のラドン変換として与えられる．この描像をq-超幾何の場合にも適用するために，(2,n)量子グラスマン多様体の点によって決まる非可換な積分変数の一次式のべき関数を定義し，これへの量子群の作用を調べた．非可換版のラドン変換を構成することまではできなかった．(2,n)グラスマン多様体上の合流型超幾何関数のq-類似については，n の分割が1および2からなる場合に同様のことを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究目的の達成は遅れている．今年度において量子パンルベ系の特殊解の研究の中で，量子パンルベ方程式の特殊解として現れる超幾何タイプの積分に現われるホモロジー群の特徴づけを行う予定であったが，ほとんど進展させることができなかった．同時に行っていたq-超幾何関数の研究に主な関心があってそれに時間を取られたことと一般Schlesinger系についての論文の執筆に時間がかかり，本来のホモロジー群の決定に多くの時間を使うことができなかったからである．引き続きこの問題を研究する予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究計画において実現できなかった量子パンルベ系の多項式解の積分表示に付随した代数的コホモロジー群およびホモロジー群の決定を行い，さらにガウスの超幾何を(2,n)-グラスマン多様体上の超幾何で置き換えて，それを種とする多重積分に対して同様の問題を考える．そのうえで，名古屋氏との共同研究によって，量子ガルニエ系のハミルトニアンを決定することを実行したい．また，古典的な合流型q-超幾何関数を量子群の視点から理解し，量子(2,n)-グラスマン多様体上のq-超幾何関数の理論，特にラドン変換の非可換版がどのようであるべきかを考察し，これまで得られているq-超幾何関数を量子群の立場から統一的に理解したい．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度は旅費等で順調に予算を消化したが，年度の終盤で細かい使用調整を行わなかったために2358円の未使用金が生じた．少額であることもあり，次年度に繰り越して有効に使用することにした．
次年度に物品費として使用する予定である．
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