非線形拡散方程式における界面ダイナミクスと進行波の大域的解構造の研究

2011 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 23540254
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 柳下 浩紀 京都産業大学, 理学部, 准教授 (80349828)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2016-03-31
• Keywords: 非線形拡散系

Research Abstract

非線形の拡散現象を記述する放物型方程式に関して、その理解に重要な対象である界面と進行波のダイナミクスについて研究を行った。非線形系の拡散現象は、物理学、化学、生物学、さらに近年は金融工学上のモデル等、多くの分野で現れる。それらの中には、急激な状態変化が狭い領域に集中する界面と呼ばれる局在構造が現れて、この界面の示す振る舞いを理解することが非線形現象を解明する上での鍵になることが数多くある。単独、あるいは連立の非線形拡散方程式で記述される拡散現象では、界面の動力学を支配する方程式が、形式的な漸近展開によって、空間内の曲面の発展方程式として導かれている。これらの方程式は、微分幾何学的には広い意味で平均曲率流方程式と呼ばれるものとなる。拡散現象が単独の２階放物型方程式で記述されている場合には、導出の数学的正当化がすでに多くの研究者の努力の結果、ほぼ満足のいく形で成功している。本年度は特に、４階以上の高階の放物型偏微分方程式に現れる界面のダイナミクスについて研究を行った。その結果、平面上で平行移動と回転、及び、反転に対して方程式が不変である場合、定常波を緩く歪めて構成される界面のダイナミクスは、曲線短縮流によって近似できることを形式的に示すことができた。この形式的導出を厳密に正当化することは、今後の課題である。また、非線形拡散方程式系の研究の基礎をなす線形の熱方程式についての研究を行った。その結果、ＫＰＰ‐フィッシャー方程式やある臨界指数以上の指数をもつ藤田型の半線形熱方程式で報告されているような不規則長時間挙動が、１次元の線形熱方程式についてはスケーリングされた変数で解を観察することにより、その詳細が明らかになるということが予想できた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

計画の通りに進んでいる訳ではないが、研究の目的に沿って、非線形拡散系の界面ダイナミクスについての理解が進んだ。特に、高階の系に対し新たな知見が得られた。

Strategy for Future Research Activity

回転に対して不変な高階の系に現れる界面のダイナミクスが曲線短縮流で近似できることの厳密な正当化に取り組む。また、１次元の線形熱方程式の解の不規則長時間挙動が、スケーリングされた変数で解を観察することにより、その詳細が明らかになることの証明を行う。

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

非線形解析に関する調査・研究のために学会に参加する。そのために旅費として使用する。また、非線形解析に関する図書の購入に使用する。その他、数値計算を行うためにＰＣ等の購入をするのに使用をする計画である。