非線形拡散方程式における界面ダイナミクスと進行波の大域的解構造の研究

2015 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 23540254
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 柳下 浩紀 京都産業大学, 理学部, 教授 (80349828)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2016-03-31
• Keywords: 非線形現象 / 非線形解析 / 拡散方程式

Outline of Annual Research Achievements

非線形拡散現象を記述する種々の放物型方程式に関して、その大域的な解構造の理解において鍵となることの多い界面と進行波の動力学について研究を行った。界面のダイナミクスについては、一般の連立拡散方程式系に対して、界面の動力学を記述する縮約力学系として平均曲率流方程式が導かれることを数学的に厳密に示すことを、大きな目標の一つとしている。非線形の拡散現象は多くの分野において現れるが、それらの中では、さらに、急激な状態の変化がごく狭い部分に集中した界面と呼ばれる局在構造が現れることが多くある。非線形の拡散方程式系で記述される拡散現象では、形式的な摂動展開によって、この界面のダイナミクスを支配する方程式が、空間の中で時間変化する曲面の方程式として導かれるが、この曲面に関する方程式は広い意味で平均曲率方程式と呼ばれるものになる。これらの導出の数学的な正当性は、導出の元となる拡散方程式系が、比較定理ないしは変分構造を有する場合については、すでに満足のいく形で得られている。しかしながら、より一般の連立拡散方程式系については、十分な正当化は得られていない。本研究課題の研究代表者は、一般の連立系に対して正当化を得るための重要なステップとして、連立系の線形化作用素である楕円型方程式の固有値・固有関数などのようなスペクトルに関する情報を詳細に得ることが必要であると予想をしている。そのため、当該年度は、昨年度に引き続き、楕円型線形偏微分作用素のスペクトルの研究を深め、そのスペクトルの構造と曲率流方程式の間にある関連性を追及した。