2016 Fiscal Year Annual Research Report
Proposal of efficient numerical algorithms for Jordan and Kronecker problems
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23560062
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
重原 孝臣 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (60206084)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑島 豊 埼玉大学, 理工学研究科, 助教 (40451736)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2017-03-31
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| Keywords | 数値線形代数 / ジョルダン問題 / クロネッカ問題 / 一般固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
28年度は、27年度に引き続き、行列束に対するクロネッカ(K)問題の重要な応用対象である一般固有値問題(GEP)の応用として、m次およびn次の２つの平面代数曲線の交わりを求める問題P(m,n)の数値解を求めるためのアルゴリズムの改良を行った。特にP(2,n)について詳細な検討を行い、近接交点の存在等の悪条件問題を除き、n≦5,6程度の場合には射影変換を活用する方法により精度よくP(2,n)が数値的に解けることを確認した。
本研究では、正方行列に関するジョルダン(J)問題およびK問題に対する信頼性の高い数値計算アルゴリズムの確立を目指した。本研究の最も重要な成果は標準的な前処理後に得られる特殊な型の行列ないしは行列束に対する効率のよいアルゴリズムの設計である。J問題については、標準的な前処理によって得られるブロックシューア標準形(BSF)のJ問題を効率よく解くためのアルゴリズムを構築した。K問題については、LAPACKにも実装されている標準的な前処置の結果得られる一般化されたブロック上三角行列束(GUPTRI)に対するアルゴリズムの検討を行った。その結果、(1)L型ブロックのみから構成されるgenericな行列束には、簡明な階層構造が存在することを示し、その活用によりK基底を求める再帰的アルゴリズムを構築した。(2)GUPTRIの５種の対角ブロック各々に対するK基底からGUPTRI全体に対するK基底を求めるアルゴリズムを構築した。(3)以上を総合して、任意のGUPTRIに対するK基底を構成するためのアルゴリズムの構築に成功した。これにより、LAPACKに実装されているGUPTRIの機能を発展させ、(1)任意の行列束に係るGEP、(2)クラス内・クラス間分散共分散行列が共に非正則な場合の線形判別分析、(3)２つの平面代数曲線の交わりの計算等の数値解を求めることが可能になった。
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